Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
2*x+8/x
-
y=5x
-
y=2x
-
x*ln
-
Expresiones idénticas
- (-x^ dos - dos *x+ ocho)/x^ dos
- ( menos x al cuadrado menos 2 multiplicar por x más 8) dividir por x al cuadrado
- ( menos x en el grado dos menos dos multiplicar por x más ocho) dividir por x en el grado dos
- (-x2-2*x+8)/x2
- -x2-2*x+8/x2
- (-x²-2*x+8)/x²
- (-x en el grado 2-2*x+8)/x en el grado 2
- (-x^2-2x+8)/x^2
- (-x2-2x+8)/x2
- -x2-2x+8/x2
- -x^2-2x+8/x^2
- (-x^2-2*x+8) dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (x^2-2*x+8)/x^2
- (-x^2-2*x-8)/x^2
- (-x^2+2*x+8)/x^2
Gráfico de la función y = (-x^2-2*x+8)/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
2
- x - 2*x + 8
f(x) = --------------
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}}$$
f = (-x^2 - 2*x + 8)/x^2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = -4$$
$$x_{2} = 2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- 2 x - 2}{x^{2}} - \frac{2 \left(\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 8$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 8$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[8, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 8\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{- 2 x - 2}{x^{2}} - \frac{2 \left(\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 8$$
Signos de extremos en los puntos:
(8, -9/8)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 8$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[8, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 8\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(-1 + \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} - \frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 8\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 12$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} - \frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 8\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} - \frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 8\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 12\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[12, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(-1 + \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} - \frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 8\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 12$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} - \frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 8\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(-1 + \frac{4 \left(x + 1\right)}{x} - \frac{3 \left(x^{2} + 2 x - 8\right)}{x^{2}}\right)}{x^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 12\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[12, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = -1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}}\right) = -1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = -1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-x^2 - 2*x + 8)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x x^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}} = \frac{- x^{2} + 2 x + 8}{x^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}} = - \frac{- x^{2} + 2 x + 8}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}} = \frac{- x^{2} + 2 x + 8}{x^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(- x^{2} - 2 x\right) + 8}{x^{2}} = - \frac{- x^{2} + 2 x + 8}{x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar