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y=x^3(x-10)^2
Trazado el gráfico de la función/ y=x^3(x-10)^2

Gráfico de la función y = y=x^3(x-10)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3         2
f(x) = x *(x - 10)
$$f{\left(x \right)} = x^{3} \left(x - 10\right)^{2}$$ 
f = x^3*(x - 10)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{3} \left(x - 10\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 10$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 10$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3*(x - 10)^2.
$$\left(-10\right)^{2} \cdot 0^{3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 0$$
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{3} \left(2 x - 20\right) + 3 x^{2} \left(x - 10\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6$$
$$x_{3} = 10$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(6, 3456)

(10, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 10$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 6$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 6\right] \cup \left[10, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[6, 10\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 x \left(x^{2} + 6 x \left(x - 10\right) + 3 \left(x - 10\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 6 - \sqrt{6}$$
$$x_{3} = \sqrt{6} + 6$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, 6 - \sqrt{6}\right] \cup \left[\sqrt{6} + 6, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[6 - \sqrt{6}, \sqrt{6} + 6\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \left(x - 10\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(x - 10\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3*(x - 10)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x - 10\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x - 10\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{3} \left(x - 10\right)^{2} = - x^{3} \left(- x - 10\right)^{2}$$
- No
$$x^{3} \left(x - 10\right)^{2} = x^{3} \left(- x - 10\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=x^3(x-10)^2
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