Sr Examen

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y=-ln^2(x^2+1)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=x^6 y=x^6
  • y=x+4 y=x+4
  • y=x*4 y=x*4
  • -е^(-2(x+2))/(2(x+2)) -е^(-2(x+2))/(2(x+2))

  • Expresiones idénticas

  • y=-ln^ dos (x^ dos + uno)
  • y es igual a menos ln al cuadrado (x al cuadrado más 1)
  • y es igual a menos ln en el grado dos (x en el grado dos más uno)
  • y=-ln2(x2+1)
  • y=-ln2x2+1
  • y=-ln²(x²+1)
  • y=-ln en el grado 2(x en el grado 2+1)
  • y=-ln^2x^2+1

  • Expresiones semejantes

  • y=-ln^2(x^2-1)
  • y=+ln^2(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ y=-ln^2(x^2+1)

Gráfico de la función y = y=-ln^2(x^2+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2/ 2    \
f(x) = -log \x  + 1/
f(x)=−log⁡(x2+1)2f{\left(x \right)} = - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} 
f = -log(x^2 + 1)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2525
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−log⁡(x2+1)2=0- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -log(x^2 + 1)^2.
−log⁡(02+1)2- \log{\left(0^{2} + 1 \right)}^{2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−4xlog⁡(x2+1)x2+1=0- \frac{4 x \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Crece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4(−2x2log⁡(x2+1)x2+1+2x2x2+1+log⁡(x2+1))x2+1=0- \frac{4 \left(- \frac{2 x^{2} \log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{x^{2} + 1} + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} + \log{\left(x^{2} + 1 \right)}\right)}{x^{2} + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2.93428982189746x_{1} = 2.93428982189746
x2=0x_{2} = 0
x3=−2.93428982189746x_{3} = -2.93428982189746

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2.93428982189746]∪[2.93428982189746,∞)\left(-\infty, -2.93428982189746\right] \cup \left[2.93428982189746, \infty\right)
Convexa en los intervalos
[−2.93428982189746,2.93428982189746]\left[-2.93428982189746, 2.93428982189746\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(x2+1)2)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−log⁡(x2+1)2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -log(x^2 + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−log⁡(x2+1)2x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−log⁡(x2+1)2x)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−log⁡(x2+1)2=−log⁡(x2+1)2- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} = - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}
- Sí
−log⁡(x2+1)2=log⁡(x2+1)2- \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} = \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = y=-ln^2(x^2+1)
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