Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{\left(x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right) + x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \left(\log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)\right) x!^{2} + 2 x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right)!^{2}} - \frac{2 x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{\left(x + 1\right)!^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónSoluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos