Sr Examen

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Gráfico de la función y = ((x^(-x)*(1+x)^(1+x))*factorial(x)^2)/factorial(1+x)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        -x        1 + x   2
       x  *(1 + x)     *x! 
f(x) = --------------------
                    2      
            (1 + x)!       
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2}}{\left(x + 1\right)!^{2}}$$
f = ((x^(-x)*(x + 1)^(x + 1))*factorial(x)^2)/factorial(x + 1)^2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2}}{\left(x + 1\right)!^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((x^(-x)*(1 + x)^(1 + x))*factorial(x)^2)/factorial(1 + x)^2.
$$\frac{0^{- 0} \cdot 1^{1} \cdot 0!^{2}}{1!^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \left(- \log{\left(x \right)} - 1\right) + x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} \left(\log{\left(x + 1 \right)} + 1\right)\right) x!^{2} + 2 x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x! \Gamma\left(x + 1\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 1 \right)}}{\left(x + 1\right)!^{2}} - \frac{2 x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2} \Gamma\left(x + 2\right) \operatorname{polygamma}{\left(0,x + 2 \right)}}{\left(x + 1\right)!^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2}}{\left(x + 1\right)!^{2}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2}}{\left(x + 1\right)!^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x^(-x)*(1 + x)^(1 + x))*factorial(x)^2)/factorial(1 + x)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
True

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x \lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2}}{x \left(x + 1\right)!^{2}}\right)$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2}}{x \left(x + 1\right)!^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2}}{\left(x + 1\right)!^{2}} = \frac{\left(- x\right)^{x} \left(1 - x\right)^{1 - x} \left(- x\right)!^{2}}{\left(1 - x\right)!^{2}}$$
- No
$$\frac{x^{- x} \left(x + 1\right)^{x + 1} x!^{2}}{\left(x + 1\right)!^{2}} = - \frac{\left(- x\right)^{x} \left(1 - x\right)^{1 - x} \left(- x\right)!^{2}}{\left(1 - x\right)!^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar