Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (2^x-3^x)/(2^x+3^x)

Gráfico de la función y = (2^x-3^x)/(2^x+3^x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x    x
       2  - 3 
f(x) = -------
        x    x
       2  + 3
f(x)=2x−3x2x+3xf{\left(x \right)} = \frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}} 
f = (2^x - 3^x)/(2^x + 3^x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2x−3x2x+3x=0\frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2^x - 3^x)/(2^x + 3^x).
−30+2020+30\frac{- 3^{0} + 2^{0}}{2^{0} + 3^{0}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x−3x)(−2xlog⁡(2)−3xlog⁡(3))(2x+3x)2+2xlog⁡(2)−3xlog⁡(3)2x+3x=0\frac{\left(2^{x} - 3^{x}\right) \left(- 2^{x} \log{\left(2 \right)} - 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)}{\left(2^{x} + 3^{x}\right)^{2}} + \frac{2^{x} \log{\left(2 \right)} - 3^{x} \log{\left(3 \right)}}{2^{x} + 3^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2xlog⁡(2)2−3xlog⁡(3)2−(2x−3x)(2xlog⁡(2)2+3xlog⁡(3)2−2(2xlog⁡(2)+3xlog⁡(3))22x+3x)2x+3x−2(2xlog⁡(2)−3xlog⁡(3))(2xlog⁡(2)+3xlog⁡(3))2x+3x2x+3x=0\frac{2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} - 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - \frac{\left(2^{x} - 3^{x}\right) \left(2^{x} \log{\left(2 \right)}^{2} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} - \frac{2 \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)^{2}}{2^{x} + 3^{x}}\right)}{2^{x} + 3^{x}} - \frac{2 \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} - 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right) \left(2^{x} \log{\left(2 \right)} + 3^{x} \log{\left(3 \right)}\right)}{2^{x} + 3^{x}}}{2^{x} + 3^{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2x−3x2x+3x)=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(2x−3x2x+3x)=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−1y = -1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2^x - 3^x)/(2^x + 3^x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2x−3xx(2x+3x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{x} - 3^{x}}{x \left(2^{x} + 3^{x}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2x−3xx(2x+3x))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{x} - 3^{x}}{x \left(2^{x} + 3^{x}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2x−3x2x+3x=−3−x+2−x3−x+2−x\frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}} = \frac{- 3^{- x} + 2^{- x}}{3^{- x} + 2^{- x}}
- No
2x−3x2x+3x=−−3−x+2−x3−x+2−x\frac{2^{x} - 3^{x}}{2^{x} + 3^{x}} = - \frac{- 3^{- x} + 2^{- x}}{3^{- x} + 2^{- x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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