Sr Examen

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y=√(x-2)(x-3)(7-x)
Trazado el gráfico de la función/ y=√(x-2)(x-3)(7-x)

Gráfico de la función y = y=√(x-2)(x-3)(7-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         _______                
f(x) = \/ x - 2 *(x - 3)*(7 - x)
f(x)=(x−3)x−2(7−x)f{\left(x \right)} = \left(x - 3\right) \sqrt{x - 2} \left(7 - x\right) 
f = ((x - 3)*sqrt(x - 2))*(7 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−3)x−2(7−x)=0\left(x - 3\right) \sqrt{x - 2} \left(7 - x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
x2=3x_{2} = 3
x3=7x_{3} = 7
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
x2=3x_{2} = 3
x3=7x_{3} = 7
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (sqrt(x - 2)*(x - 3))*(7 - x).
(−3)−2(7−0)\left(-3\right) \sqrt{-2} \left(7 - 0\right)
Resultado:
f(0)=−212if{\left(0 \right)} = - 21 \sqrt{2} i
Punto:
(0, -21*i*sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(7−x)(x−32x−2+x−2)−(x−3)x−2=0\left(7 - x\right) \left(\frac{x - 3}{2 \sqrt{x - 2}} + \sqrt{x - 2}\right) - \left(x - 3\right) \sqrt{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=195−2145x_{1} = \frac{19}{5} - \frac{2 \sqrt{14}}{5}
x2=2145+195x_{2} = \frac{2 \sqrt{14}}{5} + \frac{19}{5}
Signos de extremos en los puntos:
                     ______________                                
          ____      /         ____  /        ____\ /         ____\ 
 19   2*\/ 14      /  9   2*\/ 14   |4   2*\/ 14 | |16   2*\/ 14 | 
(-- - --------,   /   - - -------- *|- - --------|*|-- + --------|)
 5       5      \/    5      5      \5      5    / \5       5    / 

                     ______________                                
          ____      /         ____  /        ____\ /         ____\ 
 19   2*\/ 14      /  9   2*\/ 14   |4   2*\/ 14 | |16   2*\/ 14 | 
(-- + --------,   /   - + -------- *|- + --------|*|-- - --------|)
 5       5      \/    5      5      \5      5    / \5       5    /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=195−2145x_{1} = \frac{19}{5} - \frac{2 \sqrt{14}}{5}
Puntos máximos de la función:
x1=2145+195x_{1} = \frac{2 \sqrt{14}}{5} + \frac{19}{5}
Decrece en los intervalos
[195−2145,2145+195]\left[\frac{19}{5} - \frac{2 \sqrt{14}}{5}, \frac{2 \sqrt{14}}{5} + \frac{19}{5}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,195−2145]∪[2145+195,∞)\left(-\infty, \frac{19}{5} - \frac{2 \sqrt{14}}{5}\right] \cup \left[\frac{2 \sqrt{14}}{5} + \frac{19}{5}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
(x−7)(x−3x−2−4)4x−2−x−3x−2−2x−2=0\frac{\left(x - 7\right) \left(\frac{x - 3}{x - 2} - 4\right)}{4 \sqrt{x - 2}} - \frac{x - 3}{\sqrt{x - 2}} - 2 \sqrt{x - 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=135−23915x_{1} = \frac{13}{5} - \frac{2 \sqrt{39}}{15}
x2=23915+135x_{2} = \frac{2 \sqrt{39}}{15} + \frac{13}{5}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,23915+135]\left(-\infty, \frac{2 \sqrt{39}}{15} + \frac{13}{5}\right]
Convexa en los intervalos
[23915+135,∞)\left[\frac{2 \sqrt{39}}{15} + \frac{13}{5}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−3)x−2(7−x))=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 3\right) \sqrt{x - 2} \left(7 - x\right)\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−3)x−2(7−x))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 3\right) \sqrt{x - 2} \left(7 - x\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (sqrt(x - 2)*(x - 3))*(7 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((7−x)(x−3)x−2x)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(7 - x\right) \left(x - 3\right) \sqrt{x - 2}}{x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((7−x)(x−3)x−2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(7 - x\right) \left(x - 3\right) \sqrt{x - 2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−3)x−2(7−x)=(−x−3)−x−2(x+7)\left(x - 3\right) \sqrt{x - 2} \left(7 - x\right) = \left(- x - 3\right) \sqrt{- x - 2} \left(x + 7\right)
- No
(x−3)x−2(7−x)=−(−x−3)−x−2(x+7)\left(x - 3\right) \sqrt{x - 2} \left(7 - x\right) = - \left(- x - 3\right) \sqrt{- x - 2} \left(x + 7\right)
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = y=√(x-2)(x-3)(7-x)
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