Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-3)^2
-
x^2+x+1
-
x^3-3*x^2+4
-
(x^2+4)/x
-
Expresiones idénticas
- dos *x/(x*x+ uno)- dos *x*(x*x- uno)/(x*x+ uno)^ dos
- 2 multiplicar por x dividir por (x multiplicar por x más 1) menos 2 multiplicar por x multiplicar por (x multiplicar por x menos 1) dividir por (x multiplicar por x más 1) al cuadrado
- dos multiplicar por x dividir por (x multiplicar por x más uno) menos dos multiplicar por x multiplicar por (x multiplicar por x menos uno) dividir por (x multiplicar por x más uno) en el grado dos
- 2*x/(x*x+1)-2*x*(x*x-1)/(x*x+1)2
- 2*x/x*x+1-2*x*x*x-1/x*x+12
- 2*x/(x*x+1)-2*x*(x*x-1)/(x*x+1)²
- 2*x/(x*x+1)-2*x*(x*x-1)/(x*x+1) en el grado 2
- 2x/(xx+1)-2x(xx-1)/(xx+1)^2
- 2x/(xx+1)-2x(xx-1)/(xx+1)2
- 2x/xx+1-2xxx-1/xx+12
- 2x/xx+1-2xxx-1/xx+1^2
- 2*x dividir por (x*x+1)-2*x*(x*x-1) dividir por (x*x+1)^2
-
Expresiones semejantes
- 2*x/(x*x-1)-2*x*(x*x-1)/(x*x+1)^2
- 2*x/(x*x+1)-2*x*(x*x+1)/(x*x+1)^2
- 2*x/(x*x+1)-2*x*(x*x-1)/(x*x-1)^2
- 2*x/(x*x+1)+2*x*(x*x-1)/(x*x+1)^2
Gráfico de la función y = 2*x/(x*x+1)-2*x*(x*x-1)/(x*x+1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2*x 2*x*(x*x - 1)
f(x) = ------- - -------------
x*x + 1 2
(x*x + 1)
$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}}$$
f = (2*x)/(x*x + 1) - (2*x)*(x*x - 1)/(x*x + 1)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 40754.0146073646$$
$$x_{2} = 22109.5852761254$$
$$x_{3} = 31431.3751377026$$
$$x_{4} = 16178.6518916848$$
$$x_{5} = 29736.4176408609$$
$$x_{6} = -16047.4885294021$$
$$x_{7} = -20283.7072775985$$
$$x_{8} = 21262.2305994173$$
$$x_{9} = 34821.3634468047$$
$$x_{10} = 42449.0875005062$$
$$x_{11} = 15331.5208433594$$
$$x_{12} = -15200.3654382736$$
$$x_{13} = -36385.1680059945$$
$$x_{14} = 39058.9534836425$$
$$x_{15} = 20414.8966506568$$
$$x_{16} = -23673.1469943384$$
$$x_{17} = -24520.549154346$$
$$x_{18} = -41470.3270985658$$
$$x_{19} = -39775.2608173139$$
$$x_{20} = 32278.8637725529$$
$$x_{21} = -32995.141812677$$
$$x_{22} = 18720.3022019605$$
$$x_{23} = -38080.207196563$$
$$x_{24} = 36516.3874515588$$
$$x_{25} = -38927.7323209959$$
$$x_{26} = -21131.0378020927$$
$$x_{27} = 24651.7522903592$$
$$x_{28} = 39906.4824805783$$
$$x_{29} = 30583.8929111256$$
$$x_{30} = 33973.8583483916$$
$$x_{31} = -16894.6599134202$$
$$x_{32} = -37232.6856743107$$
$$x_{33} = 19567.5861240751$$
$$x_{34} = 17873.0486704095$$
$$x_{35} = 35668.8732572414$$
$$x_{36} = 27194.0400733442$$
$$x_{37} = -21978.3894419472$$
$$x_{38} = -31300.1604633294$$
$$x_{39} = -35537.6544673896$$
$$x_{40} = 28041.4904927672$$
$$x_{41} = -22825.7598445709$$
$$x_{42} = -17741.8726673034$$
$$x_{43} = 25499.1699170213$$
$$x_{44} = 33126.3583237319$$
$$x_{45} = -25367.9648198459$$
$$x_{46} = -30452.6792719769$$
$$x_{47} = -28757.7386512816$$
$$x_{48} = -42317.8645113938$$
$$x_{49} = 38211.4278248492$$
$$x_{50} = -40622.792474443$$
$$x_{51} = 23804.3479553544$$
$$x_{52} = -32147.6481435989$$
$$x_{53} = 28888.9499392717$$
$$x_{54} = 26346.5995523547$$
$$x_{55} = 41601.5496726855$$
$$x_{56} = 22956.9583845$$
$$x_{57} = -29605.2051269265$$
$$x_{58} = -34690.1453612251$$
$$x_{59} = -27062.8315909668$$
$$x_{60} = -19436.4006315048$$
$$x_{61} = -27910.2805438436$$
$$x_{62} = -33842.6410205595$$
$$x_{63} = 17025.8300696591$$
$$x_{64} = 0$$
$$x_{65} = 37363.9057313917$$
$$x_{66} = -26215.3926807132$$
$$x_{67} = -18589.1211308922$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 40754.0146073646$$
$$x_{2} = 22109.5852761254$$
$$x_{3} = 31431.3751377026$$
$$x_{4} = 16178.6518916848$$
$$x_{5} = 29736.4176408609$$
$$x_{6} = -16047.4885294021$$
$$x_{7} = -20283.7072775985$$
$$x_{8} = 21262.2305994173$$
$$x_{9} = 34821.3634468047$$
$$x_{10} = 42449.0875005062$$
$$x_{11} = 15331.5208433594$$
$$x_{12} = -15200.3654382736$$
$$x_{13} = -36385.1680059945$$
$$x_{14} = 39058.9534836425$$
$$x_{15} = 20414.8966506568$$
$$x_{16} = -23673.1469943384$$
$$x_{17} = -24520.549154346$$
$$x_{18} = -41470.3270985658$$
$$x_{19} = -39775.2608173139$$
$$x_{20} = 32278.8637725529$$
$$x_{21} = -32995.141812677$$
$$x_{22} = 18720.3022019605$$
$$x_{23} = -38080.207196563$$
$$x_{24} = 36516.3874515588$$
$$x_{25} = -38927.7323209959$$
$$x_{26} = -21131.0378020927$$
$$x_{27} = 24651.7522903592$$
$$x_{28} = 39906.4824805783$$
$$x_{29} = 30583.8929111256$$
$$x_{30} = 33973.8583483916$$
$$x_{31} = -16894.6599134202$$
$$x_{32} = -37232.6856743107$$
$$x_{33} = 19567.5861240751$$
$$x_{34} = 17873.0486704095$$
$$x_{35} = 35668.8732572414$$
$$x_{36} = 27194.0400733442$$
$$x_{37} = -21978.3894419472$$
$$x_{38} = -31300.1604633294$$
$$x_{39} = -35537.6544673896$$
$$x_{40} = 28041.4904927672$$
$$x_{41} = -22825.7598445709$$
$$x_{42} = -17741.8726673034$$
$$x_{43} = 25499.1699170213$$
$$x_{44} = 33126.3583237319$$
$$x_{45} = -25367.9648198459$$
$$x_{46} = -30452.6792719769$$
$$x_{47} = -28757.7386512816$$
$$x_{48} = -42317.8645113938$$
$$x_{49} = 38211.4278248492$$
$$x_{50} = -40622.792474443$$
$$x_{51} = 23804.3479553544$$
$$x_{52} = -32147.6481435989$$
$$x_{53} = 28888.9499392717$$
$$x_{54} = 26346.5995523547$$
$$x_{55} = 41601.5496726855$$
$$x_{56} = 22956.9583845$$
$$x_{57} = -29605.2051269265$$
$$x_{58} = -34690.1453612251$$
$$x_{59} = -27062.8315909668$$
$$x_{60} = -19436.4006315048$$
$$x_{61} = -27910.2805438436$$
$$x_{62} = -33842.6410205595$$
$$x_{63} = 17025.8300696591$$
$$x_{64} = 0$$
$$x_{65} = 37363.9057313917$$
$$x_{66} = -26215.3926807132$$
$$x_{67} = -18589.1211308922$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x^{2} \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{3}} - \frac{4 x^{2}}{\left(x x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x x + 1} + \frac{- 4 x^{2} - 2 x x + 2}{\left(x x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x^{2} \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{3}} - \frac{4 x^{2}}{\left(x x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{x x + 1} + \frac{- 4 x^{2} - 2 x x + 2}{\left(x x + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
___ ___
-\/ 3 -3*\/ 3
(-------, --------)
3 4 ___ ___ \/ 3 3*\/ 3 (-----, -------) 3 4
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 1} - 3 + \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{8 x \left(- \frac{6 x^{2} \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{2 \left(x^{2} - 1\right)}{x^{2} + 1} - 3 + \frac{3 x^{2} - 1}{x^{2} + 1}\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[-1, 0\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[0, 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x)/(x*x + 1) - (2*x)*(x*x - 1)/(x*x + 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}} = \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}} = - \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}} = \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{2 x}{x x + 1} - \frac{2 x \left(x x - 1\right)}{\left(x x + 1\right)^{2}} = - \frac{2 x \left(x^{2} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar