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Trazado el gráfico de la función/ y=((2-x)*(x+1))/(x+2)

Gráfico de la función y = y=((2-x)*(x+1))/(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       (2 - x)*(x + 1)
f(x) = ---------------
            x + 2
f(x)=(2−x)(x+1)x+2f{\left(x \right)} = \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} 
f = ((2 - x)*(x + 1))/(x + 2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-200200
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(2−x)(x+1)x+2=0\frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en ((2 - x)*(x + 1))/(x + 2).
2−02\frac{2 - 0}{2}
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1−2xx+2−(2−x)(x+1)(x+2)2=0\frac{1 - 2 x}{x + 2} - \frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−4x_{1} = -4
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(-4, 9)

(0, 1)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−4x_{1} = -4
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
[−4,0]\left[-4, 0\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−4]∪[0,∞)\left(-\infty, -4\right] \cup \left[0, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−(x−2)(x+1)(x+2)2−1+2x−1x+2)x+2=0\frac{2 \left(- \frac{\left(x - 2\right) \left(x + 1\right)}{\left(x + 2\right)^{2}} - 1 + \frac{2 x - 1}{x + 2}\right)}{x + 2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((2−x)(x+1)x+2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x + 2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((2−x)(x+1)x+2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x + 2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((2 - x)*(x + 1))/(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((2−x)(x+1)x(x+2))=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞((2−x)(x+1)x(x+2))=−1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x \left(x + 2\right)}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=−xy = - x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(2−x)(x+1)x+2=(1−x)(x+2)2−x\frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} = \frac{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)}{2 - x}
- No
(2−x)(x+1)x+2=−(1−x)(x+2)2−x\frac{\left(2 - x\right) \left(x + 1\right)}{x + 2} = - \frac{\left(1 - x\right) \left(x + 2\right)}{2 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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