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Trazado el gráfico de la función/ -1/x-x/4+x*log(3)/2+x*log(x)/2

Gráfico de la función y = -1/x-x/4+x*log(3)/2+x*log(x)/2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1   x   x*log(3)   x*log(x)
f(x) = - - - - + -------- + --------
         x   4      2          2
f(x)=xlog⁡(x)2+(xlog⁡(3)2+(−x4−1x))f{\left(x \right)} = \frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} + \left(- \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\right)\right) 
f = (x*log(x))/2 + (x*log(3))/2 - x/4 - 1/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xlog⁡(x)2+(xlog⁡(3)2+(−x4−1x))=0\frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} + \left(- \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\right)\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución numérica
x1=1.44061522483957x_{1} = 1.44061522483957
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -1/x - x/4 + (x*log(3))/2 + (x*log(x))/2.
0log⁡(0)2+((−10−04)+0log⁡(3)2)\frac{0 \log{\left(0 \right)}}{2} + \left(\left(- \frac{1}{0} - \frac{0}{4}\right) + \frac{0 \log{\left(3 \right)}}{2}\right)
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log⁡(x)2+14+log⁡(3)2+1x2=0\frac{\log{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4} + \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{1}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
12−2x2x=0\frac{\frac{1}{2} - \frac{2}{x^{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(12−2x2x)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{2}{x^{2}}}{x}\right) = \infty
lim⁡x→0+(12−2x2x)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{1}{2} - \frac{2}{x^{2}}}{x}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2,∞)\left[2, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2]\left(-\infty, 2\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(x)2+(xlog⁡(3)2+(−x4−1x)))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} + \left(- \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\right)\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(x)2+(xlog⁡(3)2+(−x4−1x)))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} + \left(- \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\right)\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -1/x - x/4 + (x*log(3))/2 + (x*log(x))/2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(x)2+(xlog⁡(3)2+(−x4−1x))x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} + \left(- \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\right)\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(x)2+(xlog⁡(3)2+(−x4−1x))x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} + \left(- \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\right)\right)}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xlog⁡(x)2+(xlog⁡(3)2+(−x4−1x))=−xlog⁡(−x)2−xlog⁡(3)2+x4+1x\frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} + \left(- \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\right)\right) = - \frac{x \log{\left(- x \right)}}{2} - \frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{x}
- No
xlog⁡(x)2+(xlog⁡(3)2+(−x4−1x))=xlog⁡(−x)2−x4+xlog⁡(3)2−1x\frac{x \log{\left(x \right)}}{2} + \left(\frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} + \left(- \frac{x}{4} - \frac{1}{x}\right)\right) = \frac{x \log{\left(- x \right)}}{2} - \frac{x}{4} + \frac{x \log{\left(3 \right)}}{2} - \frac{1}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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