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-x^3+15*x^2-x-250
Trazado el gráfico de la función/ -x^3+15*x^2-x-250

Gráfico de la función y = -x^3+15*x^2-x-250

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          3       2          
f(x) = - x  + 15*x  - x - 250
f(x)=(−x+(−x3+15x2))−250f{\left(x \right)} = \left(- x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) - 250 
f = -x - x^3 + 15*x^2 - 250
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−x+(−x3+15x2))−250=0\left(- x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) - 250 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5−1352+34860663i233−741352+34860663i23x_{1} = 5 - \frac{\sqrt[3]{\frac{135}{2} + \frac{3 \sqrt{4860663} i}{2}}}{3} - \frac{74}{\sqrt[3]{\frac{135}{2} + \frac{3 \sqrt{4860663} i}{2}}}
Solución numérica
x1=5.06757173687123x_{1} = 5.06757173687123
x2=−3.63591209078798x_{2} = -3.63591209078798
x3=13.5683403539168x_{3} = 13.5683403539168
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -x^3 + 15*x^2 - x - 250.
−250+((−03+15⋅02)−0)-250 + \left(\left(- 0^{3} + 15 \cdot 0^{2}\right) - 0\right)
Resultado:
f(0)=−250f{\left(0 \right)} = -250
Punto:
(0, -250)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2+30x−1=0- 3 x^{2} + 30 x - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5−2223x_{1} = 5 - \frac{\sqrt{222}}{3}
x2=2223+5x_{2} = \frac{\sqrt{222}}{3} + 5
Signos de extremos en los puntos:
                                  3                   2           
       _____         /      _____\       /      _____\      _____ 
     \/ 222          |    \/ 222 |       |    \/ 222 |    \/ 222  
(5 - -------, -255 - |5 - -------|  + 15*|5 - -------|  + -------)
        3            \       3   /       \       3   /       3    

                                  3                   2           
       _____         /      _____\       /      _____\      _____ 
     \/ 222          |    \/ 222 |       |    \/ 222 |    \/ 222  
(5 + -------, -255 - |5 + -------|  + 15*|5 + -------|  - -------)
        3            \       3   /       \       3   /       3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5−2223x_{1} = 5 - \frac{\sqrt{222}}{3}
Puntos máximos de la función:
x1=2223+5x_{1} = \frac{\sqrt{222}}{3} + 5
Decrece en los intervalos
[5−2223,2223+5]\left[5 - \frac{\sqrt{222}}{3}, \frac{\sqrt{222}}{3} + 5\right]
Crece en los intervalos
(−∞,5−2223]∪[2223+5,∞)\left(-\infty, 5 - \frac{\sqrt{222}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{222}}{3} + 5, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(5−x)=06 \left(5 - x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5x_{1} = 5

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,5]\left(-\infty, 5\right]
Convexa en los intervalos
[5,∞)\left[5, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−x+(−x3+15x2))−250)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) - 250\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−x+(−x3+15x2))−250)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) - 250\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -x^3 + 15*x^2 - x - 250, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−x+(−x3+15x2))−250x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) - 250}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−x+(−x3+15x2))−250x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) - 250}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−x+(−x3+15x2))−250=x3+15x2+x−250\left(- x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) - 250 = x^{3} + 15 x^{2} + x - 250
- No
(−x+(−x3+15x2))−250=−x3−15x2−x+250\left(- x + \left(- x^{3} + 15 x^{2}\right)\right) - 250 = - x^{3} - 15 x^{2} - x + 250
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -x^3+15*x^2-x-250
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