Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 1-x^3 1-x^3
  • x^2+5 x^2+5
  • (x^3+4)/x^2 (x^3+4)/x^2
  • x^3-3*x^2+4 x^3-3*x^2+4
  • Derivada de:
  • (x^2+2*x)/(x-1) (x^2+2*x)/(x-1)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ dos + dos *x)/(x- uno)
  • (x al cuadrado más 2 multiplicar por x) dividir por (x menos 1)
  • (x en el grado dos más dos multiplicar por x) dividir por (x menos uno)
  • (x2+2*x)/(x-1)
  • x2+2*x/x-1
  • (x²+2*x)/(x-1)
  • (x en el grado 2+2*x)/(x-1)
  • (x^2+2x)/(x-1)
  • (x2+2x)/(x-1)
  • x2+2x/x-1
  • x^2+2x/x-1
  • (x^2+2*x) dividir por (x-1)

  • Expresiones semejantes

  • (x^2+2*x)/(x+1)
  • (x^2-2*x)/(x-1)
Trazado el gráfico de la función/ (x^2+2*x)/(x-1)

Gráfico de la función y = (x^2+2*x)/(x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2      
       x  + 2*x
f(x) = --------
        x - 1
f(x)=x2+2xx−1f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} + 2 x}{x - 1} 
f = (x^2 + 2*x)/(x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2+2xx−1=0\frac{x^{2} + 2 x}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 + 2*x)/(x - 1).
02+0⋅2−1\frac{0^{2} + 0 \cdot 2}{-1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x+2x−1−x2+2x(x−1)2=0\frac{2 x + 2}{x - 1} - \frac{x^{2} + 2 x}{\left(x - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1−3x_{1} = 1 - \sqrt{3}
x2=1+3x_{2} = 1 + \sqrt{3}
Signos de extremos en los puntos:
                   /               2          \  
               ___ |    /      ___\        ___|  
       ___  -\/ 3 *\2 + \1 - \/ 3 /  - 2*\/ 3 /  
(1 - \/ 3, ------------------------------------)
                             3                   

                  /               2          \ 
              ___ |    /      ___\        ___| 
       ___  \/ 3 *\2 + \1 + \/ 3 /  + 2*\/ 3 / 
(1 + \/ 3, ----------------------------------)
                            3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1+3x_{1} = 1 + \sqrt{3}
Puntos máximos de la función:
x1=1−3x_{1} = 1 - \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,1−3]∪[1+3,∞)\left(-\infty, 1 - \sqrt{3}\right] \cup \left[1 + \sqrt{3}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1−3,1+3]\left[1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x(x+2)(x−1)2+1−2(x+1)x−1)x−1=0\frac{2 \left(\frac{x \left(x + 2\right)}{\left(x - 1\right)^{2}} + 1 - \frac{2 \left(x + 1\right)}{x - 1}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2+2xx−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{x - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2+2xx−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{x - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 + 2*x)/(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2+2xx(x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x2+2xx(x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} + 2 x}{x \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2+2xx−1=x2−2x−x−1\frac{x^{2} + 2 x}{x - 1} = \frac{x^{2} - 2 x}{- x - 1}
- No
x2+2xx−1=−x2−2x−x−1\frac{x^{2} + 2 x}{x - 1} = - \frac{x^{2} - 2 x}{- x - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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