Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ (x^2-x)/((x-1)*(x-2))

Gráfico de la función y = (x^2-x)/((x-1)*(x-2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             2        
            x  - x    
f(x) = ---------------
       (x - 1)*(x - 2)
f(x)=x2−x(x−2)(x−1)f{\left(x \right)} = \frac{x^{2} - x}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} 
f = (x^2 - x)/(((x - 2)*(x - 1)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−x(x−2)(x−1)=0\frac{x^{2} - x}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^2 - x)/(((x - 1)*(x - 2))).
02−0(−2)(−1)\frac{0^{2} - 0}{\left(-2\right) \left(-1\right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(3−2x)(x2−x)(x−2)2(x−1)2+1(x−2)(x−1)(2x−1)=0\frac{\left(3 - 2 x\right) \left(x^{2} - x\right)}{\left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} \left(2 x - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x((2x−3)(1x−1+1x−2)−2+2x−3x−1+2x−3x−2)x−2+2−2(2x−3)(2x−1)(x−2)(x−1)(x−2)(x−1)=0\frac{\frac{x \left(\left(2 x - 3\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 2}\right) - 2 + \frac{2 x - 3}{x - 1} + \frac{2 x - 3}{x - 2}\right)}{x - 2} + 2 - \frac{2 \left(2 x - 3\right) \left(2 x - 1\right)}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−x(x−2)(x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{2} - x}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x2−x(x−2)(x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{2} - x}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - x)/(((x - 1)*(x - 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−2)(x−1)(x2−x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} \left(x^{2} - x\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x−2)(x−1)(x2−x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} \left(x^{2} - x\right)}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−x(x−2)(x−1)=x2+x(−x−2)(−x−1)\frac{x^{2} - x}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} = \frac{x^{2} + x}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}
- No
x2−x(x−2)(x−1)=−x2+x(−x−2)(−x−1)\frac{x^{2} - x}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{x^{2} + x}{\left(- x - 2\right) \left(- x - 1\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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