Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=3x-2
-
y=2^x-3^x
-
x*ln
-
16*sqrt(2*x)
-
Expresiones idénticas
- (x^ dos -4x+ uno)/(x^ dos + uno)
- (x al cuadrado menos 4x más 1) dividir por (x al cuadrado más 1)
- (x en el grado dos menos 4x más uno) dividir por (x en el grado dos más uno)
- (x2-4x+1)/(x2+1)
- x2-4x+1/x2+1
- (x²-4x+1)/(x²+1)
- (x en el grado 2-4x+1)/(x en el grado 2+1)
- x^2-4x+1/x^2+1
- (x^2-4x+1) dividir por (x^2+1)
-
Expresiones semejantes
- (x^2+4x+1)/(x^2+1)
- (x^2-4x+1)/(x^2-1)
- (x^2-4x-1)/(x^2+1)
Gráfico de la función y = (x^2-4x+1)/(x^2+1)
Solución
Ha introducido
[src]
2
x - 4*x + 1
f(x) = ------------
2
x + 1
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1}$$
f = (x^2 - 4*x + 1)/(x^2 + 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.73205080756888$$
$$x_{2} = 0.267949192431123$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3.73205080756888$$
$$x_{2} = 0.267949192431123$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, 1\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(\left(x^{2} - 4 x\right) + 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{2 x - 4}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, 3)
(1, -1)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, 1\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 2\right)}{x^{2} + 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}{x^{2} + 1}\right)}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{4 x \left(x - 2\right)}{x^{2} + 1} + 1 + \frac{\left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right) \left(x^{2} - 4 x + 1\right)}{x^{2} + 1}\right)}{x^{2} + 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \sqrt{3}$$
$$x_{3} = \sqrt{3}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^2 - 4*x + 1)/(x^2 + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1} = - \frac{x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1} = \frac{x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 1}$$
- No
$$\frac{\left(x^{2} - 4 x\right) + 1}{x^{2} + 1} = - \frac{x^{2} + 4 x + 1}{x^{2} + 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico