Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt13sinx/2+sqrt3cosx/2-7

Gráfico de la función y = sqrt13sinx/2+sqrt3cosx/2-7

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___________     __________    
       \/ 13*sin(x)    \/ 3*cos(x)     
f(x) = ------------- + ------------ - 7
             2              2
f(x)=(13sin⁡(x)2+3cos⁡(x)2)−7f{\left(x \right)} = \left(\frac{\sqrt{13 \sin{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) - 7 
f = sqrt(13*sin(x))/2 + sqrt(3*cos(x))/2 - 7
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-7-4
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(13sin⁡(x)2+3cos⁡(x)2)−7=0\left(\frac{\sqrt{13 \sin{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) - 7 = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(13*sin(x))/2 + sqrt(3*cos(x))/2 - 7.
−7+(13sin⁡(0)2+3cos⁡(0)2)-7 + \left(\frac{\sqrt{13 \sin{\left(0 \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(0 \right)}}}{2}\right)
Resultado:
f(0)=−7+32f{\left(0 \right)} = -7 + \frac{\sqrt{3}}{2}
Punto:
(0, -7 + sqrt(3)/2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3sin⁡(x)4cos⁡(x)+13cos⁡(x)4sin⁡(x)=0- \frac{\sqrt{3} \sin{\left(x \right)}}{4 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}} + \frac{\sqrt{13} \cos{\left(x \right)}}{4 \sqrt{\sin{\left(x \right)}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2atan⁡(CRootOf⁡(13x6−39x4+24x3+39x2−13,0))x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(13 x^{6} - 39 x^{4} + 24 x^{3} + 39 x^{2} - 13, 0\right)} \right)}
x2=2atan⁡(CRootOf⁡(13x6−39x4+24x3+39x2−13,1))x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(13 x^{6} - 39 x^{4} + 24 x^{3} + 39 x^{2} - 13, 1\right)} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                       _____________________________________________________________             _____________________________________________________________ 
                                                                ___   /    /      /       /    6       4       3       2        \\\      ____   /    /      /       /    6       4       3       2        \\\  
       /       /    6       4       3       2        \\       \/ 3 *\/  cos\2*atan\CRootOf\13*x  - 39*x  + 24*x  + 39*x  - 13, 0///    \/ 13 *\/  sin\2*atan\CRootOf\13*x  - 39*x  + 24*x  + 39*x  - 13, 0///  
(2*atan\CRootOf\13*x  - 39*x  + 24*x  + 39*x  - 13, 0//, -7 + ---------------------------------------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------)
                                                                                                2                                                                         2                                    

                                                                       _____________________________________________________________             _____________________________________________________________ 
                                                                ___   /    /      /       /    6       4       3       2        \\\      ____   /    /      /       /    6       4       3       2        \\\  
       /       /    6       4       3       2        \\       \/ 3 *\/  cos\2*atan\CRootOf\13*x  - 39*x  + 24*x  + 39*x  - 13, 1///    \/ 13 *\/  sin\2*atan\CRootOf\13*x  - 39*x  + 24*x  + 39*x  - 13, 1///  
(2*atan\CRootOf\13*x  - 39*x  + 24*x  + 39*x  - 13, 1//, -7 + ---------------------------------------------------------------------- + -----------------------------------------------------------------------)
                                                                                                2                                                                         2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x2=2atan⁡(CRootOf⁡(13x6−39x4+24x3+39x2−13,1))x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(13 x^{6} - 39 x^{4} + 24 x^{3} + 39 x^{2} - 13, 1\right)} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,2atan⁡(CRootOf⁡(13x6−39x4+24x3+39x2−13,1))]\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(13 x^{6} - 39 x^{4} + 24 x^{3} + 39 x^{2} - 13, 1\right)} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[2atan⁡(CRootOf⁡(13x6−39x4+24x3+39x2−13,1)),∞)\left[2 \operatorname{atan}{\left(\operatorname{CRootOf} {\left(13 x^{6} - 39 x^{4} + 24 x^{3} + 39 x^{2} - 13, 1\right)} \right)}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((13sin⁡(x)2+3cos⁡(x)2)−7)=3⟨0,12⟩+13⟨0,12⟩−7\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\frac{\sqrt{13 \sin{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) - 7\right) = \sqrt{3} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle + \sqrt{13} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle - 7
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=3⟨0,12⟩+13⟨0,12⟩−7y = \sqrt{3} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle + \sqrt{13} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle - 7
lim⁡x→∞((13sin⁡(x)2+3cos⁡(x)2)−7)=3⟨0,12⟩+13⟨0,12⟩−7\lim_{x \to \infty}\left(\left(\frac{\sqrt{13 \sin{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) - 7\right) = \sqrt{3} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle + \sqrt{13} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle - 7
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=3⟨0,12⟩+13⟨0,12⟩−7y = \sqrt{3} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle + \sqrt{13} \left\langle 0, \frac{1}{2}\right\rangle - 7
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(13*sin(x))/2 + sqrt(3*cos(x))/2 - 7, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((13sin⁡(x)2+3cos⁡(x)2)−7x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{13 \sin{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) - 7}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞((13sin⁡(x)2+3cos⁡(x)2)−7x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\frac{\sqrt{13 \sin{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) - 7}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(13sin⁡(x)2+3cos⁡(x)2)−7=13−sin⁡(x)2+3cos⁡(x)2−7\left(\frac{\sqrt{13 \sin{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) - 7 = \frac{\sqrt{13} \sqrt{- \sin{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2} - 7
- No
(13sin⁡(x)2+3cos⁡(x)2)−7=−13−sin⁡(x)2−3cos⁡(x)2+7\left(\frac{\sqrt{13 \sin{\left(x \right)}}}{2} + \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2}\right) - 7 = - \frac{\sqrt{13} \sqrt{- \sin{\left(x \right)}}}{2} - \frac{\sqrt{3 \cos{\left(x \right)}}}{2} + 7
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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