Sr Examen

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sqrt(x^2)-1
Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x^2)-1

Gráfico de la función y = sqrt(x^2)-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____    
         /  2     
f(x) = \/  x   - 1
f(x)=x2−1f{\left(x \right)} = \sqrt{x^{2}} - 1 
f = sqrt(x^2) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2−1=0\sqrt{x^{2}} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x^2) - 1.
−1+02-1 + \sqrt{0^{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
∣x∣x=0\frac{\left|{x}\right|}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sign⁡(x)−∣x∣xx=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)} - \frac{\left|{x}\right|}{x}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−56x_{1} = -56
x2=18x_{2} = 18
x3=−66x_{3} = -66
x4=16x_{4} = 16
x5=26x_{5} = 26
x6=−42x_{6} = -42
x7=−30x_{7} = -30
x8=70x_{8} = 70
x9=−46x_{9} = -46
x10=6x_{10} = 6
x11=−38x_{11} = -38
x12=−28x_{12} = -28
x13=72x_{13} = 72
x14=96x_{14} = 96
x15=100x_{15} = 100
x16=−100x_{16} = -100
x17=22x_{17} = 22
x18=−92x_{18} = -92
x19=−24x_{19} = -24
x20=−34x_{20} = -34
x21=76x_{21} = 76
x22=−4x_{22} = -4
x23=38x_{23} = 38
x24=−84x_{24} = -84
x25=−86x_{25} = -86
x26=−70x_{26} = -70
x27=46x_{27} = 46
x28=80x_{28} = 80
x29=44x_{29} = 44
x30=−60x_{30} = -60
x31=−74x_{31} = -74
x32=−26x_{32} = -26
x33=−80x_{33} = -80
x34=8x_{34} = 8
x35=−82x_{35} = -82
x36=−54x_{36} = -54
x37=−18x_{37} = -18
x38=52x_{38} = 52
x39=−64x_{39} = -64
x40=92x_{40} = 92
x41=82x_{41} = 82
x42=−94x_{42} = -94
x43=24x_{43} = 24
x44=90x_{44} = 90
x45=36x_{45} = 36
x46=84x_{46} = 84
x47=88x_{47} = 88
x48=−22x_{48} = -22
x49=68x_{49} = 68
x50=−98x_{50} = -98
x51=86x_{51} = 86
x52=58x_{52} = 58
x53=14x_{53} = 14
x54=42x_{54} = 42
x55=48x_{55} = 48
x56=−20x_{56} = -20
x57=−52x_{57} = -52
x58=−40x_{58} = -40
x59=32x_{59} = 32
x60=−62x_{60} = -62
x61=50x_{61} = 50
x62=78x_{62} = 78
x63=40x_{63} = 40
x64=56x_{64} = 56
x65=−14x_{65} = -14
x66=−58x_{66} = -58
x67=−48x_{67} = -48
x68=62x_{68} = 62
x69=−10x_{69} = -10
x70=−76x_{70} = -76
x71=74x_{71} = 74
x72=2x_{72} = 2
x73=34x_{73} = 34
x74=10x_{74} = 10
x75=−90x_{75} = -90
x76=−8x_{76} = -8
x77=28x_{77} = 28
x78=−36x_{78} = -36
x79=60x_{79} = 60
x80=98x_{80} = 98
x81=−50x_{81} = -50
x82=−68x_{82} = -68
x83=−32x_{83} = -32
x84=−44x_{84} = -44
x85=−2x_{85} = -2
x86=4x_{86} = 4
x87=−78x_{87} = -78
x88=64x_{88} = 64
x89=−12x_{89} = -12
x90=54x_{90} = 54
x91=−72x_{91} = -72
x92=−88x_{92} = -88
x93=66x_{93} = 66
x94=−6x_{94} = -6
x95=−16x_{95} = -16
x96=30x_{96} = 30
x97=12x_{97} = 12
x98=94x_{98} = 94
x99=20x_{99} = 20
x100=−96x_{100} = -96

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−30,30]\left[-30, 30\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−30]∪[30,∞)\left(-\infty, -30\right] \cup \left[30, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2−1)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x^{2}} - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x^{2}} - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x2−1x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2}} - 1}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=−xy = - x
lim⁡x→∞(x2−1x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2}} - 1}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2−1=x2−1\sqrt{x^{2}} - 1 = \sqrt{x^{2}} - 1
- Sí
x2−1=1−x2\sqrt{x^{2}} - 1 = 1 - \sqrt{x^{2}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = sqrt(x^2)-1
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