Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x^4-3)/x
-
(x-3)/(x^2-8)
-
x^4-2*x^3+1
-
x^4-2*x^3+5
-
Expresiones idénticas
- (x- tres)/(x^ dos - ocho)
- (x menos 3) dividir por (x al cuadrado menos 8)
- (x menos tres) dividir por (x en el grado dos menos ocho)
- (x-3)/(x2-8)
- x-3/x2-8
- (x-3)/(x²-8)
- (x-3)/(x en el grado 2-8)
- x-3/x^2-8
- (x-3) dividir por (x^2-8)
-
Expresiones semejantes
- (x-3)/(x^2+8)
- (x+3)/(x^2-8)
Gráfico de la función y = (x-3)/(x^2-8)
Solución
Ha introducido
[src]
x - 3
f(x) = ------
2
x - 8
$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 3}{x^{2} - 8}$$
f = (x - 3)/(x^2 - 8)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2, 4\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \left(x - 3\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 8} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 4$$
Signos de extremos en los puntos:
(2, 1/4)
(4, 1/8)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 2$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 4$$
Decrece en los intervalos
$$\left[2, 4\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 2\right] \cup \left[4, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3}} + \sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3} + 3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
$$\lim_{x \to -2.82842712474619^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}}\right) = -6.65488733271906 \cdot 10^{46}$$
$$\lim_{x \to -2.82842712474619^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}}\right) = -6.65488733271906 \cdot 10^{46}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 2.82842712474619^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}}\right) = -1.95901592269542 \cdot 10^{45}$$
$$\lim_{x \to 2.82842712474619^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}}\right) = -1.95901592269542 \cdot 10^{45}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3}} + \sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3} + 3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3}} + \sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3} + 3\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3}} + \sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3} + 3$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
$$\lim_{x \to -2.82842712474619^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}}\right) = -6.65488733271906 \cdot 10^{46}$$
$$\lim_{x \to -2.82842712474619^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}}\right) = -6.65488733271906 \cdot 10^{46}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 2.82842712474619^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}}\right) = -1.95901592269542 \cdot 10^{45}$$
$$\lim_{x \to 2.82842712474619^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 3\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 8} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 8\right)^{2}}\right) = -1.95901592269542 \cdot 10^{45}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3}} + \sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3} + 3, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{\sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3}} + \sqrt[3]{2 \sqrt{2} + 3} + 3\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
$$x_{1} = -2.82842712474619$$
$$x_{2} = 2.82842712474619$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} - 8}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} - 8}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} - 8}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x^{2} - 8}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 3)/(x^2 - 8), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x^{2} - 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x^{2} - 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x^{2} - 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 3}{x \left(x^{2} - 8\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 8} = \frac{- x - 3}{x^{2} - 8}$$
- No
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 8} = - \frac{- x - 3}{x^{2} - 8}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 8} = \frac{- x - 3}{x^{2} - 8}$$
- No
$$\frac{x - 3}{x^{2} - 8} = - \frac{- x - 3}{x^{2} - 8}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico