Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ lnx((x^2)-2x+4)

Gráfico de la función y = lnx((x^2)-2x+4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              / 2          \
f(x) = log(x)*\x  - 2*x + 4/
f(x)=((x2−2x)+4)log⁡(x)f{\left(x \right)} = \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right) \log{\left(x \right)} 
f = (x^2 - 2*x + 4)*log(x)
Gráfico de la función
1.50.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.21.31.4-5050
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
((x2−2x)+4)log⁡(x)=0\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right) \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)*(x^2 - 2*x + 4).
((02−0)+4)log⁡(0)\left(\left(0^{2} - 0\right) + 4\right) \log{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(2x−2)log⁡(x)+(x2−2x)+4x=0\left(2 x - 2\right) \log{\left(x \right)} + \frac{\left(x^{2} - 2 x\right) + 4}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2log⁡(x)+4(x−1)x−x2−2x+4x2=02 \log{\left(x \right)} + \frac{4 \left(x - 1\right)}{x} - \frac{x^{2} - 2 x + 4}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1.36319208606132x_{1} = 1.36319208606132

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1.36319208606132,∞)\left[1.36319208606132, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1.36319208606132]\left(-\infty, 1.36319208606132\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(((x2−2x)+4)log⁡(x))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right) \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(((x2−2x)+4)log⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right) \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)*(x^2 - 2*x + 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(((x2−2x)+4)log⁡(x)x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(((x2−2x)+4)log⁡(x)x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right) \log{\left(x \right)}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
((x2−2x)+4)log⁡(x)=(x2+2x+4)log⁡(−x)\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right) \log{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 2 x + 4\right) \log{\left(- x \right)}
- No
((x2−2x)+4)log⁡(x)=−(x2+2x+4)log⁡(−x)\left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 4\right) \log{\left(x \right)} = - \left(x^{2} + 2 x + 4\right) \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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