Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
-sqrt(-1+x^2)
-
(e^x)*sin(x)
-
-exp(-2*x)-exp(3*x)
-
-exp(-3*x)-exp(2*x)
- ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
- 1/(1+1/(x^2))
- Integral de d{x}:
- 1/(1+1/(x^2))
-
Expresiones idénticas
- uno /(uno + uno /(x^ dos))
- 1 dividir por (1 más 1 dividir por (x al cuadrado ))
- uno dividir por (uno más uno dividir por (x en el grado dos))
- 1/(1+1/(x2))
- 1/1+1/x2
- 1/(1+1/(x²))
- 1/(1+1/(x en el grado 2))
- 1/1+1/x^2
- 1 dividir por (1+1 dividir por (x^2))
-
Expresiones semejantes
- 1/(1-1/(x^2))
Gráfico de la función y = 1/(1+1/(x^2))
Solución
Ha introducido
[src]
1
f(x) = ------
1
1 + --
2
x
$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$$
f = 1/(1 + 1/(x^2))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(-3 + \frac{4}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(-3 + \frac{4}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(-3 + \frac{4}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(-3 + \frac{4}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(-3 + \frac{4}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}\right) = 2$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(-3 + \frac{4}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}\right) = 2$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(1 + 1/(x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$$
- Sí
$$\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = - \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$$
- Sí
$$\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = - \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}$$
- No
es decir, función
es
par