Sr Examen

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  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^2*e^(2-x) x^2*e^(2-x)
  • x^3-12*x+5 x^3-12*x+5
  • x^2-9*x+14 x^2-9*x+14
  • -x^2+6*x-4 -x^2+6*x-4
  • ¿cómo vas a descomponer esta expresión en fracciones?:
  • 1/(1+1/(x^2))
  • Integral de d{x}:
  • 1/(1+1/(x^2))

  • Expresiones idénticas

  • uno /(uno + uno /(x^ dos))
  • 1 dividir por (1 más 1 dividir por (x al cuadrado ))
  • uno dividir por (uno más uno dividir por (x en el grado dos))
  • 1/(1+1/(x2))
  • 1/1+1/x2
  • 1/(1+1/(x²))
  • 1/(1+1/(x en el grado 2))
  • 1/1+1/x^2
  • 1 dividir por (1+1 dividir por (x^2))

  • Expresiones semejantes

  • 1/(1-1/(x^2))
Trazado el gráfico de la función/ 1/(1+1/(x^2))

Gráfico de la función y = 1/(1+1/(x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1   
f(x) = ------
           1 
       1 + --
            2
           x
f(x)=11+1x2f{\left(x \right)} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} 
f = 1/(1 + 1/(x^2))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
11+1x2=0\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(1 + 1/(x^2)).
1102+1\frac{1}{\frac{1}{0^{2}} + 1}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2x3(1+1x2)2=0\frac{2}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−3+4x2(1+1x2))x4(1+1x2)2=0\frac{2 \left(-3 + \frac{4}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−33x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}
x2=33x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(2(−3+4x2(1+1x2))x4(1+1x2)2)=2\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(-3 + \frac{4}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}\right) = 2
lim⁡x→0+(2(−3+4x2(1+1x2))x4(1+1x2)2)=2\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(-3 + \frac{4}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}\right) = 2
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−33,33]\left[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−33]∪[33,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞11+1x2=1\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞11+1x2=1\lim_{x \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(1 + 1/(x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1x(1+1x2))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1x(1+1x2))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x^{2}}\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
11+1x2=11+1x2\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}
- Sí
11+1x2=−11+1x2\frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}} = - \frac{1}{1 + \frac{1}{x^{2}}}
- No
es decir, función
es
par
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