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Trazado el gráfico de la función/ x^4+4x^2-3

Gráfico de la función y = x^4+4x^2-3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        4      2    
f(x) = x  + 4*x  - 3
f(x)=(x4+4x2)−3f{\left(x \right)} = \left(x^{4} + 4 x^{2}\right) - 3 
f = x^4 + 4*x^2 - 3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101020000-10000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x4+4x2)−3=0\left(x^{4} + 4 x^{2}\right) - 3 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−−2+7x_{1} = - \sqrt{-2 + \sqrt{7}}
x2=−2+7x_{2} = \sqrt{-2 + \sqrt{7}}
Solución numérica
x1=−0.803586529917339x_{1} = -0.803586529917339
x2=0.803586529917339x_{2} = 0.803586529917339
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^4 + 4*x^2 - 3.
−3+(04+4⋅02)-3 + \left(0^{4} + 4 \cdot 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=−3f{\left(0 \right)} = -3
Punto:
(0, -3)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
4x3+8x=04 x^{3} + 8 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(0, -3)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(3x2+2)=04 \left(3 x^{2} + 2\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x4+4x2)−3)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{4} + 4 x^{2}\right) - 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x4+4x2)−3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{4} + 4 x^{2}\right) - 3\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^4 + 4*x^2 - 3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x4+4x2)−3x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{4} + 4 x^{2}\right) - 3}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x4+4x2)−3x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{4} + 4 x^{2}\right) - 3}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x4+4x2)−3=(x4+4x2)−3\left(x^{4} + 4 x^{2}\right) - 3 = \left(x^{4} + 4 x^{2}\right) - 3
- Sí
(x4+4x2)−3=(−x4−4x2)+3\left(x^{4} + 4 x^{2}\right) - 3 = \left(- x^{4} - 4 x^{2}\right) + 3
- No
es decir, función
es
par
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