Sr Examen

Otras calculadoras

z^3-3*z^2+z+5

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • -x^2+3*x -x^2+3*x
  • x^2-2*x+8 x^2-2*x+8
  • y=x y=x
  • y=x³-3x² y=x³-3x²
  • Factorizar el polinomio:
  • z^3-3*z^2+z+5

  • Expresiones idénticas

  • z^ tres - tres *z^ dos +z+ cinco
  • z al cubo menos 3 multiplicar por z al cuadrado más z más 5
  • z en el grado tres menos tres multiplicar por z en el grado dos más z más cinco
  • z3-3*z2+z+5
  • z³-3*z²+z+5
  • z en el grado 3-3*z en el grado 2+z+5
  • z^3-3z^2+z+5
  • z3-3z2+z+5

  • Expresiones semejantes

  • z^3-3*z^2-z+5
  • z^3+3*z^2+z+5
  • z^3-3*z^2+z-5
Trazado el gráfico de la función/ z^3-3*z^2+z+5

Gráfico de la función y = z^3-3*z^2+z+5

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3      2        
f(z) = z  - 3*z  + z + 5
f(z)=(z+(z3−3z2))+5f{\left(z \right)} = \left(z + \left(z^{3} - 3 z^{2}\right)\right) + 5 
f = z + z^3 - 3*z^2 + 5
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Z con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(z+(z3−3z2))+5=0\left(z + \left(z^{3} - 3 z^{2}\right)\right) + 5 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Z:

Solución analítica
z1=−1z_{1} = -1
Solución numérica
z1=−1z_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando z es igual a 0:
sustituimos z = 0 en z^3 - 3*z^2 + z + 5.
(03−3⋅02)+5\left(0^{3} - 3 \cdot 0^{2}\right) + 5
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddzf(z)=0\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddzf(z)=\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} =
primera derivada
3z2−6z+1=03 z^{2} - 6 z + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=1−63z_{1} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}
z2=63+1z_{2} = \frac{\sqrt{6}}{3} + 1
Signos de extremos en los puntos:
                           3                2         
       ___      /      ___\      /      ___\      ___ 
     \/ 6       |    \/ 6 |      |    \/ 6 |    \/ 6  
(1 - -----, 6 + |1 - -----|  - 3*|1 - -----|  - -----)
       3        \      3  /      \      3  /      3   

                           3                2         
       ___      /      ___\      /      ___\      ___ 
     \/ 6       |    \/ 6 |      |    \/ 6 |    \/ 6  
(1 + -----, 6 + |1 + -----|  - 3*|1 + -----|  + -----)
       3        \      3  /      \      3  /      3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
z1=63+1z_{1} = \frac{\sqrt{6}}{3} + 1
Puntos máximos de la función:
z1=1−63z_{1} = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,1−63]∪[63+1,∞)\left(-\infty, 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3} + 1, \infty\right)
Crece en los intervalos
[1−63,63+1]\left[1 - \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{\sqrt{6}}{3} + 1\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dz2f(z)=0\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dz2f(z)=\frac{d^{2}}{d z^{2}} f{\left(z \right)} =
segunda derivada
6(z−1)=06 \left(z - 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
z1=1z_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con z->+oo y z->-oo
lim⁡z→−∞((z+(z3−3z2))+5)=−∞\lim_{z \to -\infty}\left(\left(z + \left(z^{3} - 3 z^{2}\right)\right) + 5\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡z→∞((z+(z3−3z2))+5)=∞\lim_{z \to \infty}\left(\left(z + \left(z^{3} - 3 z^{2}\right)\right) + 5\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función z^3 - 3*z^2 + z + 5, dividida por z con z->+oo y z ->-oo
lim⁡z→−∞((z+(z3−3z2))+5z)=∞\lim_{z \to -\infty}\left(\frac{\left(z + \left(z^{3} - 3 z^{2}\right)\right) + 5}{z}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡z→∞((z+(z3−3z2))+5z)=∞\lim_{z \to \infty}\left(\frac{\left(z + \left(z^{3} - 3 z^{2}\right)\right) + 5}{z}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-z) и f = -f(-z).
Pues, comprobamos:
(z+(z3−3z2))+5=−z3−3z2−z+5\left(z + \left(z^{3} - 3 z^{2}\right)\right) + 5 = - z^{3} - 3 z^{2} - z + 5
- No
(z+(z3−3z2))+5=z3+3z2+z−5\left(z + \left(z^{3} - 3 z^{2}\right)\right) + 5 = z^{3} + 3 z^{2} + z - 5
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = z^3-3*z^2+z+5
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