Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/(x^2-1)
-
sqrt(3*x)
-
x+1
-
(x+1)/(x-1)
- Derivada de:
-
cos(t)^(2)
- Integral de d{x}:
- cos(t)^(2)
-
Expresiones idénticas
- cos(t)^(dos)
- coseno de (t) en el grado (2)
- coseno de (t) en el grado (dos)
- cos(t)(2)
- cost2
- cost^2
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)+x
- cos(x)/x
- cos(x)*cos(2x)
- cosx+x^2
- cos(x)+1/2*sin(2x)
Gráfico de la función y = cos(t)^(2)
Solución
Ha introducido
[src]
2 f(t) = cos (t)
$$f{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)}$$
f = cos(t)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje T con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos^{2}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = -61.2610562242523$$
$$t_{2} = -67.5442421675773$$
$$t_{3} = -83.2522055415057$$
$$t_{4} = 61.2610566752601$$
$$t_{5} = -70.685834448838$$
$$t_{6} = -98.960168684456$$
$$t_{7} = 67.5442422779275$$
$$t_{8} = -98.9601684414698$$
$$t_{9} = 86.393797888273$$
$$t_{10} = 32.9867226137576$$
$$t_{11} = -54.9778713137198$$
$$t_{12} = 61.2610569989704$$
$$t_{13} = 76.9690200400775$$
$$t_{14} = -10.9955745350309$$
$$t_{15} = 64.4026493086922$$
$$t_{16} = 45.553093700501$$
$$t_{17} = -26.7035372990183$$
$$t_{18} = -54.9778716831146$$
$$t_{19} = -95.8185758681287$$
$$t_{20} = -10.9955741902138$$
$$t_{21} = 98.9601685932308$$
$$t_{22} = -39.2699083866483$$
$$t_{23} = 23.5619449395428$$
$$t_{24} = 17.2787595624179$$
$$t_{25} = -4.71238872430683$$
$$t_{26} = -32.9867227513827$$
$$t_{27} = 70.6858345016621$$
$$t_{28} = -17.2787598091171$$
$$t_{29} = 73.8274274795554$$
$$t_{30} = 98.9601683381274$$
$$t_{31} = 95.8185760590309$$
$$t_{32} = 7.85398174058521$$
$$t_{33} = 83.2522052340866$$
$$t_{34} = 39.2699081179815$$
$$t_{35} = -76.9690202568697$$
$$t_{36} = -29.8451300963672$$
$$t_{37} = 76.9690197631883$$
$$t_{38} = 48.6946859238715$$
$$t_{39} = 32.986722928111$$
$$t_{40} = 36.1283156002139$$
$$t_{41} = 51.8362788999928$$
$$t_{42} = -58.1194639993376$$
$$t_{43} = -61.2610569641117$$
$$t_{44} = 58.1194644379895$$
$$t_{45} = 54.9778711883962$$
$$t_{46} = -70.6858346386357$$
$$t_{47} = 10.9955740392793$$
$$t_{48} = 4.71238876848081$$
$$t_{49} = -14.1371668392726$$
$$t_{50} = -23.5619450090417$$
$$t_{51} = -1.57079642969308$$
$$t_{52} = -7.85398149857354$$
$$t_{53} = 14.1371671048484$$
$$t_{54} = 76.9690207492347$$
$$t_{55} = 23.5619451230057$$
$$t_{56} = 20.4203521497111$$
$$t_{57} = 54.9778714849733$$
$$t_{58} = -73.8274272800405$$
$$t_{59} = 89.5353908552844$$
$$t_{60} = -86.393797765473$$
$$t_{61} = -89.5353907467661$$
$$t_{62} = -36.1283154192437$$
$$t_{63} = -51.8362786897497$$
$$t_{64} = -42.4115006098842$$
$$t_{65} = -4.7123889912442$$
$$t_{66} = -20.4203520321877$$
$$t_{67} = -26.7035375427973$$
$$t_{68} = -48.6946858738636$$
$$t_{69} = 92.6769830795146$$
$$t_{70} = 83.2522055730903$$
$$t_{71} = 17.2787598502655$$
$$t_{72} = 29.845130320338$$
$$t_{73} = -98.96016883042$$
$$t_{74} = -92.6769831823972$$
$$t_{75} = -92.6769830239371$$
$$t_{76} = 39.2699084246933$$
$$t_{77} = -17.2787590276524$$
$$t_{78} = -80.1106125795659$$
$$t_{79} = 80.1106126771746$$
$$t_{80} = -39.2699081528781$$
$$t_{81} = -32.9867231091652$$
$$t_{82} = -45.5530935883361$$
$$t_{83} = 541.924732890135$$
$$t_{84} = -76.9690198771149$$
$$t_{85} = 1.5707965454425$$
$$t_{86} = -64.4026491876462$$
$$t_{87} = 80.1106131434937$$
$$t_{88} = -48.6946860920117$$
$$t_{89} = 42.4115007291722$$
$$t_{90} = 26.7035373461441$$
$$t_{91} = 10.9955743696636$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\cos^{2}{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje T:
Solución analítica
$$t_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Solución numérica
$$t_{1} = -61.2610562242523$$
$$t_{2} = -67.5442421675773$$
$$t_{3} = -83.2522055415057$$
$$t_{4} = 61.2610566752601$$
$$t_{5} = -70.685834448838$$
$$t_{6} = -98.960168684456$$
$$t_{7} = 67.5442422779275$$
$$t_{8} = -98.9601684414698$$
$$t_{9} = 86.393797888273$$
$$t_{10} = 32.9867226137576$$
$$t_{11} = -54.9778713137198$$
$$t_{12} = 61.2610569989704$$
$$t_{13} = 76.9690200400775$$
$$t_{14} = -10.9955745350309$$
$$t_{15} = 64.4026493086922$$
$$t_{16} = 45.553093700501$$
$$t_{17} = -26.7035372990183$$
$$t_{18} = -54.9778716831146$$
$$t_{19} = -95.8185758681287$$
$$t_{20} = -10.9955741902138$$
$$t_{21} = 98.9601685932308$$
$$t_{22} = -39.2699083866483$$
$$t_{23} = 23.5619449395428$$
$$t_{24} = 17.2787595624179$$
$$t_{25} = -4.71238872430683$$
$$t_{26} = -32.9867227513827$$
$$t_{27} = 70.6858345016621$$
$$t_{28} = -17.2787598091171$$
$$t_{29} = 73.8274274795554$$
$$t_{30} = 98.9601683381274$$
$$t_{31} = 95.8185760590309$$
$$t_{32} = 7.85398174058521$$
$$t_{33} = 83.2522052340866$$
$$t_{34} = 39.2699081179815$$
$$t_{35} = -76.9690202568697$$
$$t_{36} = -29.8451300963672$$
$$t_{37} = 76.9690197631883$$
$$t_{38} = 48.6946859238715$$
$$t_{39} = 32.986722928111$$
$$t_{40} = 36.1283156002139$$
$$t_{41} = 51.8362788999928$$
$$t_{42} = -58.1194639993376$$
$$t_{43} = -61.2610569641117$$
$$t_{44} = 58.1194644379895$$
$$t_{45} = 54.9778711883962$$
$$t_{46} = -70.6858346386357$$
$$t_{47} = 10.9955740392793$$
$$t_{48} = 4.71238876848081$$
$$t_{49} = -14.1371668392726$$
$$t_{50} = -23.5619450090417$$
$$t_{51} = -1.57079642969308$$
$$t_{52} = -7.85398149857354$$
$$t_{53} = 14.1371671048484$$
$$t_{54} = 76.9690207492347$$
$$t_{55} = 23.5619451230057$$
$$t_{56} = 20.4203521497111$$
$$t_{57} = 54.9778714849733$$
$$t_{58} = -73.8274272800405$$
$$t_{59} = 89.5353908552844$$
$$t_{60} = -86.393797765473$$
$$t_{61} = -89.5353907467661$$
$$t_{62} = -36.1283154192437$$
$$t_{63} = -51.8362786897497$$
$$t_{64} = -42.4115006098842$$
$$t_{65} = -4.7123889912442$$
$$t_{66} = -20.4203520321877$$
$$t_{67} = -26.7035375427973$$
$$t_{68} = -48.6946858738636$$
$$t_{69} = 92.6769830795146$$
$$t_{70} = 83.2522055730903$$
$$t_{71} = 17.2787598502655$$
$$t_{72} = 29.845130320338$$
$$t_{73} = -98.96016883042$$
$$t_{74} = -92.6769831823972$$
$$t_{75} = -92.6769830239371$$
$$t_{76} = 39.2699084246933$$
$$t_{77} = -17.2787590276524$$
$$t_{78} = -80.1106125795659$$
$$t_{79} = 80.1106126771746$$
$$t_{80} = -39.2699081528781$$
$$t_{81} = -32.9867231091652$$
$$t_{82} = -45.5530935883361$$
$$t_{83} = 541.924732890135$$
$$t_{84} = -76.9690198771149$$
$$t_{85} = 1.5707965454425$$
$$t_{86} = -64.4026491876462$$
$$t_{87} = 80.1106131434937$$
$$t_{88} = -48.6946860920117$$
$$t_{89} = 42.4115007291722$$
$$t_{90} = 26.7035373461441$$
$$t_{91} = 10.9955743696636$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d t} f{\left(t \right)} = $$
primera derivada
$$- 2 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = 0$$
$$t_{2} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{3} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 1)
-pi (----, 0) 2
pi (--, 0) 2
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$t_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$t_{2} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, 0\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[0, \frac{\pi}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d t^{2}} f{\left(t \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\sin^{2}{\left(t \right)} - \cos^{2}{\left(t \right)}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$t_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$t_{2} = \frac{\pi}{4}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right] \cup \left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con t->+oo y t->-oo
$$\lim_{t \to -\infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to -\infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
$$\lim_{t \to \infty} \cos^{2}{\left(t \right)} = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = \left\langle 0, 1\right\rangle$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función cos(t)^2, dividida por t con t->+oo y t ->-oo
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{t \to -\infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{t \to \infty}\left(\frac{\cos^{2}{\left(t \right)}}{t}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-t) и f = -f(-t).
Pues, comprobamos:
$$\cos^{2}{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)}$$
- Sí
$$\cos^{2}{\left(t \right)} = - \cos^{2}{\left(t \right)}$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$\cos^{2}{\left(t \right)} = \cos^{2}{\left(t \right)}$$
- Sí
$$\cos^{2}{\left(t \right)} = - \cos^{2}{\left(t \right)}$$
- No
es decir, función
es
par