Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(x^3+2)
-
x*e^(-x)^2
-
2*x^3-15*x^2+36*x-32
-
x*(x-4)
-
Expresiones idénticas
- uno /(y- uno)- cinco * uno /(y*(y- uno))
- 1 dividir por (y menos 1) menos 5 multiplicar por 1 dividir por (y multiplicar por (y menos 1))
- uno dividir por (y menos uno) menos cinco multiplicar por uno dividir por (y multiplicar por (y menos uno))
- 1/(y-1)-51/(y(y-1))
- 1/y-1-51/yy-1
- 1 dividir por (y-1)-5*1 dividir por (y*(y-1))
-
Expresiones semejantes
- 1/(y-1)-5*1/(y*(y+1))
- 1/(y+1)-5*1/(y*(y-1))
- 1/(y-1)+5*1/(y*(y-1))
Gráfico de la función y = 1/(y-1)-5*1/(y*(y-1))
Solución
Ha introducido
[src]
1 5
f(y) = ----- - ---------
y - 1 y*(y - 1)
$$f{\left(y \right)} = \frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)}$$
f = 1/(y - 1) - 5*1/(y*(y - 1))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje Y con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 5$$
Solución numérica
$$y_{1} = 5$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje Y:
Solución analítica
$$y_{1} = 5$$
Solución numérica
$$y_{1} = 5$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}} - \frac{5 \left(1 - 2 y\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 5 - 2 \sqrt{5}$$
$$y_{2} = 2 \sqrt{5} + 5$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$y_{1} = 5 - 2 \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$y_{1} = 2 \sqrt{5} + 5$$
Decrece en los intervalos
$$\left[5 - 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5} + 5\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 5 - 2 \sqrt{5}\right] \cup \left[2 \sqrt{5} + 5, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}} - \frac{5 \left(1 - 2 y\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 5 - 2 \sqrt{5}$$
$$y_{2} = 2 \sqrt{5} + 5$$
Signos de extremos en los puntos:
___ 1 5
(5 - 2*\/ 5, ----------- - ---------------------------)
___ / ___\ / ___\
4 - 2*\/ 5 \4 - 2*\/ 5 /*\5 - 2*\/ 5 / ___ 1 5
(5 + 2*\/ 5, ----------- - ---------------------------)
___ / ___\ / ___\
4 + 2*\/ 5 \4 + 2*\/ 5 /*\5 + 2*\/ 5 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$y_{1} = 5 - 2 \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$y_{1} = 2 \sqrt{5} + 5$$
Decrece en los intervalos
$$\left[5 - 2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5} + 5\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 5 - 2 \sqrt{5}\right] \cup \left[2 \sqrt{5} + 5, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 2 \sqrt[3]{10} + 10^{\frac{2}{3}} + 5$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
$$\lim_{y \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{y \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{y \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \sqrt[3]{10} + 10^{\frac{2}{3}} + 5, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \sqrt[3]{10} + 10^{\frac{2}{3}} + 5\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d y^{2}} f{\left(y \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$y_{1} = 2 \sqrt[3]{10} + 10^{\frac{2}{3}} + 5$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
$$\lim_{y \to 0^-}\left(\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{y \to 0^+}\left(\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{y \to 1^-}\left(\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{y \to 1^+}\left(\frac{2 \left(\frac{1}{y - 1} + \frac{5}{y^{2}} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{2} \left(y - 1\right)} - \frac{5 \left(2 y - 1\right)}{y^{3}}\right)}{\left(y - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$y_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[2 \sqrt[3]{10} + 10^{\frac{2}{3}} + 5, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \sqrt[3]{10} + 10^{\frac{2}{3}} + 5\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
$$y_{1} = 0$$
$$y_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con y->+oo y y->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(y - 1) - 5*1/(y*(y - 1)), dividida por y con y->+oo y y ->-oo
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)}}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)}}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{y \to -\infty}\left(\frac{\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)}}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{y \to \infty}\left(\frac{\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)}}{y}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-y) и f = -f(-y).
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)} = \frac{1}{- y - 1} + \frac{5}{y \left(- y - 1\right)}$$
- No
$$\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)} = - \frac{1}{- y - 1} - \frac{5}{y \left(- y - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)} = \frac{1}{- y - 1} + \frac{5}{y \left(- y - 1\right)}$$
- No
$$\frac{1}{y - 1} - \frac{5}{y \left(y - 1\right)} = - \frac{1}{- y - 1} - \frac{5}{y \left(- y - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar