Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • y=-x^3+3x-2 y=-x^3+3x-2
  • y=(x+1)^3 y=(x+1)^3
  • 2*x^2-6*x 2*x^2-6*x
  • y=2x y=2x

  • Expresiones idénticas

  • (x- cinco)/(x^ dos - uno)
  • (x menos 5) dividir por (x al cuadrado menos 1)
  • (x menos cinco) dividir por (x en el grado dos menos uno)
  • (x-5)/(x2-1)
  • x-5/x2-1
  • (x-5)/(x²-1)
  • (x-5)/(x en el grado 2-1)
  • x-5/x^2-1
  • (x-5) dividir por (x^2-1)

  • Expresiones semejantes

  • (x+5)/(x^2-1)
  • (x-5)/(x^2+1)
Trazado el gráfico de la función/ (x-5)/(x^2-1)

Gráfico de la función y = (x-5)/(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x - 5 
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
f(x)=x−5x2−1f{\left(x \right)} = \frac{x - 5}{x^{2} - 1} 
f = (x - 5)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x−5x2−1=0\frac{x - 5}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5x_{1} = 5
Solución numérica
x1=5x_{1} = 5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 5)/(x^2 - 1).
−5−1+02- \frac{5}{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=5f{\left(0 \right)} = 5
Punto:
(0, 5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x−5)(x2−1)2+1x2−1=0- \frac{2 x \left(x - 5\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5−26x_{1} = 5 - 2 \sqrt{6}
x2=26+5x_{2} = 2 \sqrt{6} + 5
Signos de extremos en los puntos:
                         ___      
         ___        -2*\/ 6       
(5 - 2*\/ 6, -------------------)
                                2 
                   /        ___\  
              -1 + \5 - 2*\/ 6 /  

                        ___       
         ___        2*\/ 6        
(5 + 2*\/ 6, -------------------)
                                2 
                   /        ___\  
              -1 + \5 + 2*\/ 6 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=5−26x_{1} = 5 - 2 \sqrt{6}
Puntos máximos de la función:
x1=26+5x_{1} = 2 \sqrt{6} + 5
Decrece en los intervalos
[5−26,26+5]\left[5 - 2 \sqrt{6}, 2 \sqrt{6} + 5\right]
Crece en los intervalos
(−∞,5−26]∪[26+5,∞)\left(-\infty, 5 - 2 \sqrt{6}\right] \cup \left[2 \sqrt{6} + 5, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x+(x−5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2=0\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2123+5+2183x_{1} = 2 \sqrt[3]{12} + 5 + 2 \sqrt[3]{18}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2(−2x+(x−5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2(−2x+(x−5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(−2x+(x−5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(2(−2x+(x−5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=−∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x - 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[2123+5+2183,∞)\left[2 \sqrt[3]{12} + 5 + 2 \sqrt[3]{18}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,2123+5+2183]\left(-\infty, 2 \sqrt[3]{12} + 5 + 2 \sqrt[3]{18}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x−5x2−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 5}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x−5x2−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 5)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x−5x(x2−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x - 5}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x−5x(x2−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x - 5}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x−5x2−1=−x−5x2−1\frac{x - 5}{x^{2} - 1} = \frac{- x - 5}{x^{2} - 1}
- No
x−5x2−1=−−x−5x2−1\frac{x - 5}{x^{2} - 1} = - \frac{- x - 5}{x^{2} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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