Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • -x^2+3*x -x^2+3*x
  • x^2-2*x+8 x^2-2*x+8
  • y=x y=x
  • (x-1)/(x+2) (x-1)/(x+2)
  • Integral de d{x}:
  • (x+5)/(x^2-1)

  • Expresiones idénticas

  • (x+ cinco)/(x^ dos - uno)
  • (x más 5) dividir por (x al cuadrado menos 1)
  • (x más cinco) dividir por (x en el grado dos menos uno)
  • (x+5)/(x2-1)
  • x+5/x2-1
  • (x+5)/(x²-1)
  • (x+5)/(x en el grado 2-1)
  • x+5/x^2-1
  • (x+5) dividir por (x^2-1)

  • Expresiones semejantes

  • (x+5)/(x^2+1)
  • (x-5)/(x^2-1)
Trazado el gráfico de la función/ (x+5)/(x^2-1)

Gráfico de la función y = (x+5)/(x^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x + 5 
f(x) = ------
        2    
       x  - 1
f(x)=x+5x2−1f{\left(x \right)} = \frac{x + 5}{x^{2} - 1} 
f = (x + 5)/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x+5x2−1=0\frac{x + 5}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−5x_{1} = -5
Solución numérica
x1=−5x_{1} = -5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x + 5)/(x^2 - 1).
5−1+02\frac{5}{-1 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−5f{\left(0 \right)} = -5
Punto:
(0, -5)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x(x+5)(x2−1)2+1x2−1=0- \frac{2 x \left(x + 5\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−5−26x_{1} = -5 - 2 \sqrt{6}
x2=−5+26x_{2} = -5 + 2 \sqrt{6}
Signos de extremos en los puntos:
                          ___       
          ___        -2*\/ 6        
(-5 - 2*\/ 6, --------------------)
                                  2 
                    /         ___\  
               -1 + \-5 - 2*\/ 6 /  

                         ___        
          ___        2*\/ 6         
(-5 + 2*\/ 6, --------------------)
                                  2 
                    /         ___\  
               -1 + \-5 + 2*\/ 6 /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−5−26x_{1} = -5 - 2 \sqrt{6}
Puntos máximos de la función:
x1=−5+26x_{1} = -5 + 2 \sqrt{6}
Decrece en los intervalos
[−5−26,−5+26]\left[-5 - 2 \sqrt{6}, -5 + 2 \sqrt{6}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,−5−26]∪[−5+26,∞)\left(-\infty, -5 - 2 \sqrt{6}\right] \cup \left[-5 + 2 \sqrt{6}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−2x+(x+5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2=0\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2183−5−2123x_{1} = - 2 \sqrt[3]{18} - 5 - 2 \sqrt[3]{12}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2(−2x+(x+5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→−1+(2(−2x+(x+5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(−2x+(x+5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2(−2x+(x+5)(4x2x2−1−1))(x2−1)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- 2 x + \left(x + 5\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−2183−5−2123,∞)\left[- 2 \sqrt[3]{18} - 5 - 2 \sqrt[3]{12}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−2183−5−2123]\left(-\infty, - 2 \sqrt[3]{18} - 5 - 2 \sqrt[3]{12}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x+5x2−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 5}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x+5x2−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x + 5)/(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x+5x(x2−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x + 5}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x+5x(x2−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x + 5}{x \left(x^{2} - 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x+5x2−1=5−xx2−1\frac{x + 5}{x^{2} - 1} = \frac{5 - x}{x^{2} - 1}
- No
x+5x2−1=−5−xx2−1\frac{x + 5}{x^{2} - 1} = - \frac{5 - x}{x^{2} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор