Sr Examen

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(x(x+1))/((x-1)(x+2))
Trazado el gráfico de la función/ (x(x+1))/((x-1)(x+2))

Gráfico de la función y = (x(x+1))/((x-1)(x+2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          x*(x + 1)   
f(x) = ---------------
       (x - 1)*(x + 2)
f(x)=x(x+1)(x−1)(x+2)f{\left(x \right)} = \frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} 
f = (x*(x + 1))/(((x - 1)*(x + 2)))
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x+1)(x−1)(x+2)=0\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*(x + 1))/(((x - 1)*(x + 2))).
0(−1)2\frac{0}{\left(-1\right) 2}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(−2x−1)(x+1)(x−1)2(x+2)2+1(x−1)(x+2)(2x+1)=0\frac{x \left(- 2 x - 1\right) \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 2\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} \left(2 x + 1\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(-1/2, 1/9)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=−12x_{1} = - \frac{1}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−12]\left(-\infty, - \frac{1}{2}\right]
Crece en los intervalos
[−12,∞)\left[- \frac{1}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x(x+1)((2x+1)(1x+2+1x−1)−2+2x+1x+2+2x+1x−1)(x−1)(x+2)+2−2(2x+1)2(x−1)(x+2)(x−1)(x+2)=0\frac{\frac{x \left(x + 1\right) \left(\left(2 x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 1}\right) - 2 + \frac{2 x + 1}{x + 2} + \frac{2 x + 1}{x - 1}\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} + 2 - \frac{2 \left(2 x + 1\right)^{2}}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x+1)(x−1)(x+2))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(x(x+1)(x−1)(x+2))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x + 1))/(((x - 1)*(x + 2))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(1(x−1)(x+2)(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} \left(x + 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(1(x−1)(x+2)(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} \left(x + 1\right)\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x+1)(x−1)(x+2)=−x(1−x)(2−x)(−x−1)\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} = - \frac{x \left(1 - x\right)}{\left(2 - x\right) \left(- x - 1\right)}
- No
x(x+1)(x−1)(x+2)=x(1−x)(2−x)(−x−1)\frac{x \left(x + 1\right)}{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)} = \frac{x \left(1 - x\right)}{\left(2 - x\right) \left(- x - 1\right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x(x+1))/((x-1)(x+2))
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