Sr Examen
Gráfico de la función y = (2+x)*(e^(-x))
Solución
Ha introducido
[src]
-x f(x) = (2 + x)*E
$$f{\left(x \right)} = e^{- x} \left(x + 2\right)$$
f = E^(-x)*(x + 2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{- x} \left(x + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 55.6533514231885$$
$$x_{2} = 34.1413894508705$$
$$x_{3} = 103.407942520376$$
$$x_{4} = 121.371127053866$$
$$x_{5} = 97.4236264980399$$
$$x_{6} = 109.394173451874$$
$$x_{7} = 83.4703620749206$$
$$x_{8} = 93.4353540260187$$
$$x_{9} = 43.8319875396224$$
$$x_{10} = 89.4482816547886$$
$$x_{11} = 36.0568716419232$$
$$x_{12} = 45.7931569932505$$
$$x_{13} = 81.4785626915261$$
$$x_{14} = 51.7006804984823$$
$$x_{15} = 39.9272307499711$$
$$x_{16} = 91.4416565533312$$
$$x_{17} = 41.8762545098096$$
$$x_{18} = 105.40315817241$$
$$x_{19} = 37.9866376954424$$
$$x_{20} = 101.412938828373$$
$$x_{21} = 71.5277731870455$$
$$x_{22} = 57.6328238138969$$
$$x_{23} = 117.378231552779$$
$$x_{24} = 32.2454094695441$$
$$x_{25} = 53.67586733869$$
$$x_{26} = 113.385891060967$$
$$x_{27} = 65.5660769899711$$
$$x_{28} = 49.7281686335153$$
$$x_{29} = 111.389949729147$$
$$x_{30} = 85.4626045093137$$
$$x_{31} = 67.5523925194344$$
$$x_{32} = 47.758798960419$$
$$x_{33} = 107.398572537176$$
$$x_{34} = 59.614029218278$$
$$x_{35} = 95.429350983852$$
$$x_{36} = 99.4181615522622$$
$$x_{37} = 77.496455118891$$
$$x_{38} = 69.5396566043977$$
$$x_{39} = 61.5967547129854$$
$$x_{40} = 87.4552548670559$$
$$x_{41} = 119.374613775997$$
$$x_{42} = 79.4872456640903$$
$$x_{43} = 63.580821222158$$
$$x_{44} = 115.381987933686$$
$$x_{45} = -2$$
$$x_{46} = 75.5062407712727$$
$$x_{47} = 73.5166588459953$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$e^{- x} \left(x + 2\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 55.6533514231885$$
$$x_{2} = 34.1413894508705$$
$$x_{3} = 103.407942520376$$
$$x_{4} = 121.371127053866$$
$$x_{5} = 97.4236264980399$$
$$x_{6} = 109.394173451874$$
$$x_{7} = 83.4703620749206$$
$$x_{8} = 93.4353540260187$$
$$x_{9} = 43.8319875396224$$
$$x_{10} = 89.4482816547886$$
$$x_{11} = 36.0568716419232$$
$$x_{12} = 45.7931569932505$$
$$x_{13} = 81.4785626915261$$
$$x_{14} = 51.7006804984823$$
$$x_{15} = 39.9272307499711$$
$$x_{16} = 91.4416565533312$$
$$x_{17} = 41.8762545098096$$
$$x_{18} = 105.40315817241$$
$$x_{19} = 37.9866376954424$$
$$x_{20} = 101.412938828373$$
$$x_{21} = 71.5277731870455$$
$$x_{22} = 57.6328238138969$$
$$x_{23} = 117.378231552779$$
$$x_{24} = 32.2454094695441$$
$$x_{25} = 53.67586733869$$
$$x_{26} = 113.385891060967$$
$$x_{27} = 65.5660769899711$$
$$x_{28} = 49.7281686335153$$
$$x_{29} = 111.389949729147$$
$$x_{30} = 85.4626045093137$$
$$x_{31} = 67.5523925194344$$
$$x_{32} = 47.758798960419$$
$$x_{33} = 107.398572537176$$
$$x_{34} = 59.614029218278$$
$$x_{35} = 95.429350983852$$
$$x_{36} = 99.4181615522622$$
$$x_{37} = 77.496455118891$$
$$x_{38} = 69.5396566043977$$
$$x_{39} = 61.5967547129854$$
$$x_{40} = 87.4552548670559$$
$$x_{41} = 119.374613775997$$
$$x_{42} = 79.4872456640903$$
$$x_{43} = 63.580821222158$$
$$x_{44} = 115.381987933686$$
$$x_{45} = -2$$
$$x_{46} = 75.5062407712727$$
$$x_{47} = 73.5166588459953$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \left(x + 2\right) e^{- x} + e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1$$
Signos de extremos en los puntos:
(-1, E)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -1\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[-1, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$x e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \left(x + 2\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \left(x + 2\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \left(x + 2\right)\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2 + x)*E^(-x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{- x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{- x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{- x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) e^{- x}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$e^{- x} \left(x + 2\right) = \left(2 - x\right) e^{x}$$
- No
$$e^{- x} \left(x + 2\right) = - \left(2 - x\right) e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$e^{- x} \left(x + 2\right) = \left(2 - x\right) e^{x}$$
- No
$$e^{- x} \left(x + 2\right) = - \left(2 - x\right) e^{x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar