Sr Examen
Gráfico de la función y = 3*x^3+5*x^2-2*x-6
Solución
Ha introducido
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3 2 f(x) = 3*x + 5*x - 2*x - 6
$$f{\left(x \right)} = \left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6$$
f = -2*x + 3*x^3 + 5*x^2 - 6
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$9 x^{2} + 10 x - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{43}}{9}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{43}}{9} - \frac{5}{9}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{43}}{9}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{43}}{9} - \frac{5}{9}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{43}}{9} - \frac{5}{9}\right] \cup \left[- \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{43}}{9}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{43}}{9} - \frac{5}{9}, - \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{43}}{9}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$9 x^{2} + 10 x - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{43}}{9}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{43}}{9} - \frac{5}{9}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
____ / ____\ / ____\ ____
5 \/ 43 44 | 5 \/ 43 | | 5 \/ 43 | 2*\/ 43
(- - + ------, - -- + 3*|- - + ------| + 5*|- - + ------| - --------)
9 9 9 \ 9 9 / \ 9 9 / 9 3 2
____ / ____\ / ____\ ____
5 \/ 43 44 | 5 \/ 43 | | 5 \/ 43 | 2*\/ 43
(- - - ------, - -- + 3*|- - - ------| + 5*|- - - ------| + --------)
9 9 9 \ 9 9 / \ 9 9 / 9 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{43}}{9}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{43}}{9} - \frac{5}{9}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{43}}{9} - \frac{5}{9}\right] \cup \left[- \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{43}}{9}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{43}}{9} - \frac{5}{9}, - \frac{5}{9} + \frac{\sqrt{43}}{9}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(9 x + 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{9}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{9}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5}{9}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(9 x + 5\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{5}{9}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{5}{9}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{5}{9}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 3*x^3 + 5*x^2 - 2*x - 6, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6 = - 3 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 6$$
- No
$$\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6 = 3 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 6$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6 = - 3 x^{3} + 5 x^{2} + 2 x - 6$$
- No
$$\left(- 2 x + \left(3 x^{3} + 5 x^{2}\right)\right) - 6 = 3 x^{3} - 5 x^{2} - 2 x + 6$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar