Gráfico de la función y = (2x+1)/(sqrt(x-1))

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        2*x + 1 
f(x) = ---------
         _______
       \/ x - 1

$$f{\left(x \right)} = \frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}$$

f = (2*x + 1)/sqrt(x - 1)

Gráfico de la función

Dominio de definición de la función

Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -0.5$$

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x + 1)/sqrt(x - 1).
$$\frac{0 \cdot 2 + 1}{\sqrt{-1}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - i$$
Punto:

(0, -i)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{2}{\sqrt{x - 1}} - \frac{2 x + 1}{2 \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:

          ___ 
(5/2, 2*\/ 6 )

Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{2}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{2}\right]$$

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{-2 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{11}{2}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$

$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{-2 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{-2 + \frac{3 \left(2 x + 1\right)}{4 \left(x - 1\right)}}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{11}{2}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[\frac{11}{2}, \infty\right)$$

Asíntotas verticales

Hay:
$$x_{1} = 1$$

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1)/sqrt(x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x + 1}{x \sqrt{x - 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = \frac{1 - 2 x}{\sqrt{- x - 1}}$$
- No
$$\frac{2 x + 1}{\sqrt{x - 1}} = - \frac{1 - 2 x}{\sqrt{- x - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Gráfico de la función y = (2x+1)/(sqrt(x-1))

Gráfico:

Puntos de intersección:

Definida a trozos:

Solución