Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x + 4}{x + 5} - \frac{x^{2} + 4 x}{\left(x + 5\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -5 - \sqrt{5}$$
$$x_{2} = -5 + \sqrt{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ -\/ 5 *\-20 + \-5 - \/ 5 / - 4*\/ 5 /
(-5 - \/ 5, ---------------------------------------)
5
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ \/ 5 *\-20 + \-5 + \/ 5 / + 4*\/ 5 /
(-5 + \/ 5, -------------------------------------)
5
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -5 + \sqrt{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -5 - \sqrt{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, -5 - \sqrt{5}\right] \cup \left[-5 + \sqrt{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[-5 - \sqrt{5}, -5 + \sqrt{5}\right]$$