Sr Examen

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x/(x^2-6x-16)
Trazado el gráfico de la función/ x/(x^2-6x-16)

Gráfico de la función y = x/(x^2-6x-16)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             x      
f(x) = -------------
        2           
       x  - 6*x - 16
f(x)=x(x2−6x)−16f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x^{2} - 6 x\right) - 16} 
f = x/(x^2 - 6*x - 16)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=8x_{2} = 8
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x(x2−6x)−16=0\frac{x}{\left(x^{2} - 6 x\right) - 16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x/(x^2 - 6*x - 16).
0−16+(02−0)\frac{0}{-16 + \left(0^{2} - 0\right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x(6−2x)((x2−6x)−16)2+1(x2−6x)−16=0\frac{x \left(6 - 2 x\right)}{\left(\left(x^{2} - 6 x\right) - 16\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x^{2} - 6 x\right) - 16} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(x(4(x−3)2−x2+6x+16+1)+2x−6)(−x2+6x+16)2=0- \frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 3\right)^{2}}{- x^{2} + 6 x + 16} + 1\right) + 2 x - 6\right)}{\left(- x^{2} + 6 x + 16\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−2⋅223+423x_{1} = - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 4 \sqrt[3]{2}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=8x_{2} = 8

lim⁡x→−2−(−2(x(4(x−3)2−x2+6x+16+1)+2x−6)(−x2+6x+16)2)=−∞\lim_{x \to -2^-}\left(- \frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 3\right)^{2}}{- x^{2} + 6 x + 16} + 1\right) + 2 x - 6\right)}{\left(- x^{2} + 6 x + 16\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−2+(−2(x(4(x−3)2−x2+6x+16+1)+2x−6)(−x2+6x+16)2)=∞\lim_{x \to -2^+}\left(- \frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 3\right)^{2}}{- x^{2} + 6 x + 16} + 1\right) + 2 x - 6\right)}{\left(- x^{2} + 6 x + 16\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→8−(−2(x(4(x−3)2−x2+6x+16+1)+2x−6)(−x2+6x+16)2)=−∞\lim_{x \to 8^-}\left(- \frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 3\right)^{2}}{- x^{2} + 6 x + 16} + 1\right) + 2 x - 6\right)}{\left(- x^{2} + 6 x + 16\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→8+(−2(x(4(x−3)2−x2+6x+16+1)+2x−6)(−x2+6x+16)2)=∞\lim_{x \to 8^+}\left(- \frac{2 \left(x \left(\frac{4 \left(x - 3\right)^{2}}{- x^{2} + 6 x + 16} + 1\right) + 2 x - 6\right)}{\left(- x^{2} + 6 x + 16\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=8x_{2} = 8
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,−2⋅223+423]\left(-\infty, - 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 4 \sqrt[3]{2}\right]
Convexa en los intervalos
[−2⋅223+423,∞)\left[- 2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} + 4 \sqrt[3]{2}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=8x_{2} = 8
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x(x2−6x)−16)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 6 x\right) - 16}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(x(x2−6x)−16)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x^{2} - 6 x\right) - 16}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(x^2 - 6*x - 16), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞1(x2−6x)−16=0\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 6 x\right) - 16} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞1(x2−6x)−16=0\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\left(x^{2} - 6 x\right) - 16} = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x(x2−6x)−16=−xx2+6x−16\frac{x}{\left(x^{2} - 6 x\right) - 16} = - \frac{x}{x^{2} + 6 x - 16}
- No
x(x2−6x)−16=xx2+6x−16\frac{x}{\left(x^{2} - 6 x\right) - 16} = \frac{x}{x^{2} + 6 x - 16}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x/(x^2-6x-16)
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