Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ log(x)/log(2x-1)

Gráfico de la función y = log(x)/log(2x-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          log(x)   
f(x) = ------------
       log(2*x - 1)
f(x)=log⁡(x)log⁡(2x−1)f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} 
f = log(x)/log(2*x - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.01.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x)log⁡(2x−1)=0\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x)/log(2*x - 1).
log⁡(0)log⁡(−1+0⋅2)\frac{\log{\left(0 \right)}}{\log{\left(-1 + 0 \cdot 2 \right)}}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2log⁡(x)(2x−1)log⁡(2x−1)2+1xlog⁡(2x−1)=0- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}^{2}} + \frac{1}{x \log{\left(2 x - 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
4(1+2log⁡(2x−1))log⁡(x)(2x−1)2log⁡(2x−1)−4x(2x−1)log⁡(2x−1)−1x2log⁡(2x−1)=0\frac{\frac{4 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2} \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{4}{x \left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=149396.350599736x_{1} = 149396.350599736
x2=130375.732035869x_{2} = 130375.732035869
x3=83773.4524097231x_{3} = 83773.4524097231
x4=227041.033321087x_{4} = 227041.033321087
x5=158973.334359218x_{5} = 158973.334359218
x6=97589.4489170793x_{6} = 97589.4489170793
x7=120938.388540661x_{7} = 120938.388540661
x8=102228.942081859x_{8} = 102228.942081859
x9=207428.027072087x_{9} = 207428.027072087
x10=135113.283271347x_{10} = 135113.283271347
x11=154179.579113005x_{11} = 154179.579113005
x12=74657.2680720997x_{12} = 74657.2680720997
x13=79205.2297330639x_{13} = 79205.2297330639
x14=192799.868958311x_{14} = 192799.868958311
x15=173414.686516363x_{15} = 173414.686516363
x16=183089.53622477x_{16} = 183089.53622477
x17=125650.613100783x_{17} = 125650.613100783
x18=178247.556996465x_{18} = 178247.556996465
x19=202543.894024119x_{19} = 202543.894024119
x20=212319.984842555x_{20} = 212319.984842555
x21=88360.8619389959x_{21} = 88360.8619389959
x22=92966.4877886856x_{22} = 92966.4877886856
x23=187940.383254848x_{23} = 187940.383254848
x24=116239.554226526x_{24} = 116239.554226526
x25=222126.657681893x_{25} = 222126.657681893
x26=197667.775189082x_{26} = 197667.775189082
x27=139862.835233527x_{27} = 139862.835233527
x28=106884.23209112x_{28} = 106884.23209112
x29=111554.643610193x_{29} = 111554.643610193
x30=70130.7624851036x_{30} = 70130.7624851036
x31=217219.586169279x_{31} = 217219.586169279
x32=163777.3003064x_{32} = 163777.3003064
x33=168591.178470941x_{33} = 168591.178470941
x34=144623.983966592x_{34} = 144623.983966592
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=1x_{1} = 1

lim⁡x→1−(4(1+2log⁡(2x−1))log⁡(x)(2x−1)2log⁡(2x−1)−4x(2x−1)log⁡(2x−1)−1x2log⁡(2x−1))=−0.500000000000001\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\frac{4 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2} \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{4}{x \left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = -0.500000000000001
lim⁡x→1+(4(1+2log⁡(2x−1))log⁡(x)(2x−1)2log⁡(2x−1)−4x(2x−1)log⁡(2x−1)−1x2log⁡(2x−1))=−0.5\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{4 \left(1 + \frac{2}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) \log{\left(x \right)}}{\left(2 x - 1\right)^{2} \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{4}{x \left(2 x - 1\right) \log{\left(2 x - 1 \right)}} - \frac{1}{x^{2}}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = -0.5
- los límites no son iguales, signo
x1=1x_{1} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=1x_{1} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)log⁡(2x−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞(log⁡(x)log⁡(2x−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x)/log(2*x - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)xlog⁡(2x−1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)xlog⁡(2x−1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{x \log{\left(2 x - 1 \right)}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x)log⁡(2x−1)=log⁡(−x)log⁡(−2x−1)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(- 2 x - 1 \right)}}
- No
log⁡(x)log⁡(2x−1)=−log⁡(−x)log⁡(−2x−1)\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(2 x - 1 \right)}} = - \frac{\log{\left(- x \right)}}{\log{\left(- 2 x - 1 \right)}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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