Gráfico de la función y = |x+3|+|2*x+1|-x

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f(x) = |x + 3| + |2*x + 1| - x

f{\left(x \right)} = - x + \left(\left|{x + 3}\right| + \left|{2 x + 1}\right|\right)

f = -x + |x + 3| + |2*x + 1|

Gráfico de la función

Puntos de cruce con el eje de coordenadas X

El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:

- x + \left(\left|{x + 3}\right| + \left|{2 x + 1}\right|\right) = 0

Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X

Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y

El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x + 3| + |2*x + 1| - x.

- 0 + \left(\left|{0 \cdot 2 + 1}\right| + \left|{3}\right|\right)

Resultado:

f{\left(0 \right)} = 4

Punto:

(0, 4)

Extremos de la función

Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0

(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:

\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =

\operatorname{sign}{\left(x + 3 \right)} + 2 \operatorname{sign}{\left(2 x + 1 \right)} - 1 = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos

Puntos de flexiones

Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0

(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:

\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =

2 \left(\delta\left(x + 3\right) + 4 \delta\left(2 x + 1\right)\right) = 0

Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones

Asíntotas horizontales

Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \left(\left|{x + 3}\right| + \left|{2 x + 1}\right|\right)\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda

\lim_{x \to \infty}\left(- x + \left(\left|{x + 3}\right| + \left|{2 x + 1}\right|\right)\right) = \infty

Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha

Asíntotas inclinadas

Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x + 3| + |2*x + 1| - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo

\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \left(\left|{x + 3}\right| + \left|{2 x + 1}\right|\right)}{x}\right) = -4

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:

y = - 4 x

\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \left(\left|{x + 3}\right| + \left|{2 x + 1}\right|\right)}{x}\right) = 2

Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:

y = 2 x

Paridad e imparidad de la función

Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:

- x + \left(\left|{x + 3}\right| + \left|{2 x + 1}\right|\right) = x + \left|{x - 3}\right| + \left|{2 x - 1}\right|

- No

- x + \left(\left|{x + 3}\right| + \left|{2 x + 1}\right|\right) = - x - \left|{x - 3}\right| - \left|{2 x - 1}\right|

- No
es decir, función
no es
par ni impar