Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
-
Expresiones idénticas
- (x- tres)^ dos *(x- uno)^ dos
- (x menos 3) al cuadrado multiplicar por (x menos 1) al cuadrado
- (x menos tres) en el grado dos multiplicar por (x menos uno) en el grado dos
- (x-3)2*(x-1)2
- x-32*x-12
- (x-3)²*(x-1)²
- (x-3) en el grado 2*(x-1) en el grado 2
- (x-3)^2(x-1)^2
- (x-3)2(x-1)2
- x-32x-12
- x-3^2x-1^2
-
Expresiones semejantes
- (x+3)^2*(x-1)^2
- (x-3)^2*(x+1)^2
Gráfico de la función y = (x-3)^2*(x-1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 f(x) = (x - 3) *(x - 1)
$$f{\left(x \right)} = \left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}$$
f = (x - 3)^2*(x - 1)^2
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x - 2\right) + \left(x - 1\right)^{2} \left(2 x - 6\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1, 2\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[2, 3\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\left(x - 3\right)^{2} \left(2 x - 2\right) + \left(x - 1\right)^{2} \left(2 x - 6\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 3$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)
(2, 1)
(3, 0)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 2$$
Decrece en los intervalos
$$\left[1, 2\right] \cup \left[3, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, 1\right] \cup \left[2, 3\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\left(x - 3\right)^{2} + 4 \left(x - 3\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(\left(x - 3\right)^{2} + 4 \left(x - 3\right) \left(x - 1\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{3}}{3} + 2$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{3}}{3} + 2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 - \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3} + 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 3)^2*(x - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} = \left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- No
$$\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} = - \left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} = \left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- No
$$\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} = - \left(- x - 3\right)^{2} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico