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2ln(x/(x-2))-1
Trazado el gráfico de la función/ 2ln(x/(x-2))-1

Gráfico de la función y = 2ln(x/(x-2))-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            /  x  \    
f(x) = 2*log|-----| - 1
            \x - 2/
f(x)=2log⁡(xx−2)−1f{\left(x \right)} = 2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)} - 1 
f = 2*log(x/(x - 2)) - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2log⁡(xx−2)−1=02 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2e121−e12x_{1} = - \frac{2 e^{\frac{1}{2}}}{1 - e^{\frac{1}{2}}}
Solución numérica
x1=5.0829881650736x_{1} = 5.0829881650736
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2*log(x/(x - 2)) - 1.
2log⁡(0−2)−12 \log{\left(\frac{0}{-2} \right)} - 1
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2(x−2)(−x(x−2)2+1x−2)x=0\frac{2 \left(x - 2\right) \left(- \frac{x}{\left(x - 2\right)^{2}} + \frac{1}{x - 2}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(xx−2−1)(1x−2+1x)x=0\frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}\right)}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=2x_{1} = 2

lim⁡x→2−(2(xx−2−1)(1x−2+1x)x)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty
lim⁡x→2+(2(xx−2−1)(1x−2+1x)x)=∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{2 \left(\frac{x}{x - 2} - 1\right) \left(\frac{1}{x - 2} + \frac{1}{x}\right)}{x}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=2x_{1} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(xx−2)−1)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)} - 1\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(2log⁡(xx−2)−1)=−1\lim_{x \to \infty}\left(2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)} - 1\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=−1y = -1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2*log(x/(x - 2)) - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2log⁡(xx−2)−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2log⁡(xx−2)−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)} - 1}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2log⁡(xx−2)−1=2log⁡(−x−x−2)−12 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)} - 1 = 2 \log{\left(- \frac{x}{- x - 2} \right)} - 1
- No
2log⁡(xx−2)−1=1−2log⁡(−x−x−2)2 \log{\left(\frac{x}{x - 2} \right)} - 1 = 1 - 2 \log{\left(- \frac{x}{- x - 2} \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = 2ln(x/(x-2))-1
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