Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ -sqrt(2)*sqrt(x-sqrt(1+x^2))

Gráfico de la función y = -sqrt(2)*sqrt(x-sqrt(1+x^2))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                  _________________
                 /        ________ 
          ___   /        /      2  
f(x) = -\/ 2 *\/   x - \/  1 + x
$$f{\left(x \right)} = - \sqrt{2} \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}}$$ 
f = (-sqrt(2))*sqrt(x - sqrt(x^2 + 1))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \sqrt{2} \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (-sqrt(2))*sqrt(x - sqrt(1 + x^2)).
$$- \sqrt{2} \sqrt{- \sqrt{0^{2} + 1}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = - \sqrt{2} i$$
Punto:
(0, -i*sqrt(2))
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sqrt{2} \left(- \frac{x}{2 \sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{1}{2}\right)}{\sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{\sqrt{2} \left(\frac{2 \left(\frac{x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\sqrt{x^{2} + 1}} - \frac{\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}} - 1\right)^{2}}{x - \sqrt{x^{2} + 1}}\right)}{4 \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{2} \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}}\right) = - \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{2} \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (-sqrt(2))*sqrt(x - sqrt(1 + x^2)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \sqrt{2} \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}} = - \sqrt{2} \sqrt{- x - \sqrt{x^{2} + 1}}$$
- No
$$- \sqrt{2} \sqrt{x - \sqrt{x^{2} + 1}} = \sqrt{2} \sqrt{- x - \sqrt{x^{2} + 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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