Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$\frac{2 x - 8}{2 x + 16} - \frac{2 \left(x^{2} - 8 x\right)}{\left(2 x + 16\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -8 + 8 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 8 \sqrt{2} - 8$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ \/ 2 *\64 + \-8 + 8*\/ 2 / - 64*\/ 2 /
(-8 + 8*\/ 2, ---------------------------------------)
32
/ 2 \
___ | / ___\ ___|
___ -\/ 2 *\64 + \-8 - 8*\/ 2 / + 64*\/ 2 /
(-8 - 8*\/ 2, -----------------------------------------)
32
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = -8 + 8 \sqrt{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - 8 \sqrt{2} - 8$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 8 \sqrt{2} - 8\right] \cup \left[-8 + 8 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- 8 \sqrt{2} - 8, -8 + 8 \sqrt{2}\right]$$