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x^3-12x^2-9x+1
Trazado el gráfico de la función/ x^3-12x^2-9x+1

Gráfico de la función y = x^3-12x^2-9x+1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3       2          
f(x) = x  - 12*x  - 9*x + 1
f(x)=(−9x+(x3−12x2))+1f{\left(x \right)} = \left(- 9 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 1 
f = -9*x + x^3 - 12*x^2 + 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−9x+(x3−12x2))+1=0\left(- 9 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4+191632+173i23+1632+173i23x_{1} = 4 + \frac{19}{\sqrt[3]{\frac{163}{2} + \frac{17 \sqrt{3} i}{2}}} + \sqrt[3]{\frac{163}{2} + \frac{17 \sqrt{3} i}{2}}
Solución numérica
x1=12.7023334971914x_{1} = 12.7023334971914
x2=0.0983260519538532x_{2} = 0.0983260519538532
x3=−0.800659549145216x_{3} = -0.800659549145216
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 12*x^2 - 9*x + 1.
((03−12⋅02)−0)+1\left(\left(0^{3} - 12 \cdot 0^{2}\right) - 0\right) + 1
Resultado:
f(0)=1f{\left(0 \right)} = 1
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−24x−9=03 x^{2} - 24 x - 9 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4−19x_{1} = 4 - \sqrt{19}
x2=4+19x_{2} = 4 + \sqrt{19}
Signos de extremos en los puntos:
                               3                  2            
       ____        /      ____\       /      ____\        ____ 
(4 - \/ 19, -35 + \4 - \/ 19 /  - 12*\4 - \/ 19 /  + 9*\/ 19 )

                               3                  2            
       ____        /      ____\       /      ____\        ____ 
(4 + \/ 19, -35 + \4 + \/ 19 /  - 12*\4 + \/ 19 /  - 9*\/ 19 )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=4+19x_{1} = 4 + \sqrt{19}
Puntos máximos de la función:
x1=4−19x_{1} = 4 - \sqrt{19}
Decrece en los intervalos
(−∞,4−19]∪[4+19,∞)\left(-\infty, 4 - \sqrt{19}\right] \cup \left[4 + \sqrt{19}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[4−19,4+19]\left[4 - \sqrt{19}, 4 + \sqrt{19}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−4)=06 \left(x - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−9x+(x3−12x2))+1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- 9 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−9x+(x3−12x2))+1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- 9 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 12*x^2 - 9*x + 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−9x+(x3−12x2))+1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−9x+(x3−12x2))+1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 9 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−9x+(x3−12x2))+1=−x3−12x2+9x+1\left(- 9 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 1 = - x^{3} - 12 x^{2} + 9 x + 1
- No
(−9x+(x3−12x2))+1=x3+12x2−9x−1\left(- 9 x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) + 1 = x^{3} + 12 x^{2} - 9 x - 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3-12x^2-9x+1
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