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Trazado el gráfico de la función/ arccos2(|x|-2)

Gráfico de la función y = arccos2(|x|-2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           2         
f(x) = acos (|x| - 2)
f(x)=acos⁡2(∣x∣−2)f{\left(x \right)} = \operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)} 
f = acos(|x| - 2)^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2020
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡2(∣x∣−2)=0\operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−3x_{1} = -3
x2=3x_{2} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
x2=−3x_{2} = -3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(|x| - 2)^2.
acos⁡2(−2+∣0∣)\operatorname{acos}^{2}{\left(-2 + \left|{0}\right| \right)}
Resultado:
f(0)=acos⁡2(−2)f{\left(0 \right)} = \operatorname{acos}^{2}{\left(-2 \right)}
Punto:
(0, acos(-2)^2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2acos⁡(∣x∣−2)sign⁡(x)1−(∣x∣−2)2=0- \frac{2 \operatorname{acos}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{\sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
Signos de extremos en los puntos:
          2     
(0, acos (-2))


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[0,∞)\left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]\left(-\infty, 0\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2(sign⁡2(x)(∣x∣−2)2−1+2δ(x)acos⁡(∣x∣−2)1−(∣x∣−2)2+(∣x∣−2)acos⁡(∣x∣−2)sign⁡2(x)(1−(∣x∣−2)2)32)=0- 2 \left(\frac{\operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2} - 1} + \frac{2 \delta\left(x\right) \operatorname{acos}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)}}{\sqrt{1 - \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}}} + \frac{\left(\left|{x}\right| - 2\right) \operatorname{acos}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)} \operatorname{sign}^{2}{\left(x \right)}}{\left(1 - \left(\left|{x}\right| - 2\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞acos⁡2(∣x∣−2)=−∞\lim_{x \to -\infty} \operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞acos⁡2(∣x∣−2)=−∞\lim_{x \to \infty} \operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)} = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(|x| - 2)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡2(∣x∣−2)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡2(∣x∣−2)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡2(∣x∣−2)=acos⁡2(∣x∣−2)\operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)} = \operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)}
- Sí
acos⁡2(∣x∣−2)=−acos⁡2(∣x∣−2)\operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)} = - \operatorname{acos}^{2}{\left(\left|{x}\right| - 2 \right)}
- No
es decir, función
es
par
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