Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
x*(-1-log(x))
-
e^3*x+10*e^2*x
-
-cos(2*x)-sin(2*x)
- Derivada de:
-
x*(x-1)^2*(x-2)^3
-
Expresiones idénticas
- x*(x- uno)^ dos *(x- dos)^ tres
- x multiplicar por (x menos 1) al cuadrado multiplicar por (x menos 2) al cubo
- x multiplicar por (x menos uno) en el grado dos multiplicar por (x menos dos) en el grado tres
- x*(x-1)2*(x-2)3
- x*x-12*x-23
- x*(x-1)²*(x-2)³
- x*(x-1) en el grado 2*(x-2) en el grado 3
- x(x-1)^2(x-2)^3
- x(x-1)2(x-2)3
- xx-12x-23
- xx-1^2x-2^3
-
Expresiones semejantes
- x*(x+1)^2*(x-2)^3
- x*(x-1)^2*(x+2)^3
Gráfico de la función y = x*(x-1)^2*(x-2)^3
Solución
Ha introducido
[src]
2 3 f(x) = x*(x - 1) *(x - 2)
$$f{\left(x \right)} = x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3}$$
f = (x*(x - 1)^2)*(x - 2)^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{3} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x \left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 2\right)^{3} \left(x \left(2 x - 2\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{5}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{5}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}, 1\right] \cup \left[\frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{5}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}\right] \cup \left[1, \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{5}{6}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$3 x \left(x - 2\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 2\right)^{3} \left(x \left(2 x - 2\right) + \left(x - 1\right)^{2}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}$$
$$x_{4} = \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{5}{6}$$
Signos de extremos en los puntos:
(1, 0)
(2, 0)
3 2
____ / ____\ / ____\ / ____\
5 \/ 13 | 7 \/ 13 | | 1 \/ 13 | |5 \/ 13 |
(- - ------, |- - - ------| *|- - - ------| *|- - ------|)
6 6 \ 6 6 / \ 6 6 / \6 6 / 3 2
____ / ____\ / ____\ / ____\
5 \/ 13 | 7 \/ 13 | | 1 \/ 13 | |5 \/ 13 |
(- + ------, |- - + ------| *|- - + ------| *|- + ------|)
6 6 \ 6 6 / \ 6 6 / \6 6 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{5}{6}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{2} = 1$$
Decrece en los intervalos
$$\left[\frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}, 1\right] \cup \left[\frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{5}{6}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{5}{6} - \frac{\sqrt{13}}{6}\right] \cup \left[1, \frac{\sqrt{13}}{6} + \frac{5}{6}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x - 2\right) \left(3 x \left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(3 x - 2\right) + 3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(3 x - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{10}{9} - \frac{\sqrt[3]{\frac{49}{135} + \frac{\sqrt{31} i}{5}}}{3} - \frac{10}{27 \sqrt[3]{\frac{49}{135} + \frac{\sqrt{31} i}{5}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{10} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{27 \sqrt{31}}{49} \right)}}{3} \right)}}{9} + \frac{10}{9}\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{10} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{27 \sqrt{31}}{49} \right)}}{3} \right)}}{9} + \frac{10}{9}, 2\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 \left(x - 2\right) \left(3 x \left(x - 1\right)^{2} + \left(x - 2\right)^{2} \left(3 x - 2\right) + 3 \left(x - 2\right) \left(x - 1\right) \left(3 x - 1\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = \frac{10}{9} - \frac{\sqrt[3]{\frac{49}{135} + \frac{\sqrt{31} i}{5}}}{3} - \frac{10}{27 \sqrt[3]{\frac{49}{135} + \frac{\sqrt{31} i}{5}}}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{2 \sqrt{10} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{27 \sqrt{31}}{49} \right)}}{3} \right)}}{9} + \frac{10}{9}\right] \cup \left[2, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[- \frac{2 \sqrt{10} \cos{\left(\frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{27 \sqrt{31}}{49} \right)}}{3} \right)}}{9} + \frac{10}{9}, 2\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*(x - 1)^2)*(x - 2)^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x - 2\right)^{3} \left(x - 1\right)^{2}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3} = - x \left(- x - 2\right)^{3} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- No
$$x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3} = x \left(- x - 2\right)^{3} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3} = - x \left(- x - 2\right)^{3} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- No
$$x \left(x - 1\right)^{2} \left(x - 2\right)^{3} = x \left(- x - 2\right)^{3} \left(- x - 1\right)^{2}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico