Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt(x-2*sqrt(x-1))+sqrt(x+2*sqrt(x-1))

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          _________________      _________________
         /         _______      /         _______ 
f(x) = \/  x - 2*\/ x - 1   + \/  x + 2*\/ x - 1  
$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}}$$
f = sqrt(x - 2*sqrt(x - 1)) + sqrt(x + 2*sqrt(x - 1))
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x - 2*sqrt(x - 1)) + sqrt(x + 2*sqrt(x - 1)).
$$\sqrt{- 2 \sqrt{-1}} + \sqrt{2 \sqrt{-1}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 2$$
Punto:
(0, 2)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}}{\sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}} + \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}}{\sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{\left(1 - \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\right)^{2}}{\left(x - 2 \sqrt{x - 1}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{\left(1 + \frac{1}{\sqrt{x - 1}}\right)^{2}}{\left(x + 2 \sqrt{x - 1}\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}} \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}}} + \frac{1}{\left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}} \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}}}{4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}}\right) = \infty i$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x - 2*sqrt(x - 1)) + sqrt(x + 2*sqrt(x - 1)), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} = \sqrt{- x - 2 \sqrt{- x - 1}} + \sqrt{- x + 2 \sqrt{- x - 1}}$$
- No
$$\sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} = - \sqrt{- x - 2 \sqrt{- x - 1}} - \sqrt{- x + 2 \sqrt{- x - 1}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar