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x^2-x^3
Trazado el gráfico de la función/ x^2-x^3

Gráfico de la función y = x^2-x^3

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2    3
f(x) = x  - x
f(x)=−x3+x2f{\left(x \right)} = - x^{3} + x^{2} 
f = -x^3 + x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-20002000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x3+x2=0- x^{3} + x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=0x_{2} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2 - x^3.
02−030^{2} - 0^{3}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−3x2+2x=0- 3 x^{2} + 2 x = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=23x_{2} = \frac{2}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

(2/3, 4/27)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=23x_{1} = \frac{2}{3}
Decrece en los intervalos
[0,23]\left[0, \frac{2}{3}\right]
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[23,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{2}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−3x)=02 \left(1 - 3 x\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=13x_{1} = \frac{1}{3}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,13]\left(-\infty, \frac{1}{3}\right]
Convexa en los intervalos
[13,∞)\left[\frac{1}{3}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x3+x2)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- x^{3} + x^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x3+x2)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(- x^{3} + x^{2}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2 - x^3, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x3+x2x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x^{3} + x^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x3+x2x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x^{3} + x^{2}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x3+x2=x3+x2- x^{3} + x^{2} = x^{3} + x^{2}
- No
−x3+x2=−x3−x2- x^{3} + x^{2} = - x^{3} - x^{2}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2-x^3
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