Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • e^(-x^2) e^(-x^2)
  • 4*x-x^2 4*x-x^2
  • x*e^(-x)^2 x*e^(-x)^2
  • 2*x^3-15*x^2+36*x-32 2*x^3-15*x^2+36*x-32

  • Expresiones idénticas

  • uno /(x^ dos - uno)- dos *x*(x- dos)/(x^ dos - uno)^ dos
  • 1 dividir por (x al cuadrado menos 1) menos 2 multiplicar por x multiplicar por (x menos 2) dividir por (x al cuadrado menos 1) al cuadrado
  • uno dividir por (x en el grado dos menos uno) menos dos multiplicar por x multiplicar por (x menos dos) dividir por (x en el grado dos menos uno) en el grado dos
  • 1/(x2-1)-2*x*(x-2)/(x2-1)2
  • 1/x2-1-2*x*x-2/x2-12
  • 1/(x²-1)-2*x*(x-2)/(x²-1)²
  • 1/(x en el grado 2-1)-2*x*(x-2)/(x en el grado 2-1) en el grado 2
  • 1/(x^2-1)-2x(x-2)/(x^2-1)^2
  • 1/(x2-1)-2x(x-2)/(x2-1)2
  • 1/x2-1-2xx-2/x2-12
  • 1/x^2-1-2xx-2/x^2-1^2
  • 1 dividir por (x^2-1)-2*x*(x-2) dividir por (x^2-1)^2

  • Expresiones semejantes

  • 1/(x^2-1)-2*x*(x+2)/(x^2-1)^2
  • 1/(x^2-1)+2*x*(x-2)/(x^2-1)^2
  • 1/(x^2-1)-2*x*(x-2)/(x^2+1)^2
  • 1/(x^2+1)-2*x*(x-2)/(x^2-1)^2
Trazado el gráfico de la función/ 1/(x^2-1)-2*x*(x-2)/(x^2-1)^2

Gráfico de la función y = 1/(x^2-1)-2*x*(x-2)/(x^2-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         1      2*x*(x - 2)
f(x) = ------ - -----------
        2                2 
       x  - 1    / 2    \  
                 \x  - 1/
f(x)=−2x(x−2)(x2−1)2+1x2−1f{\left(x \right)} = - \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} 
f = -(2*x)*(x - 2)/(x^2 - 1)^2 + 1/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-10001000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−2x(x−2)(x2−1)2+1x2−1=0- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2−3x_{1} = 2 - \sqrt{3}
x2=3+2x_{2} = \sqrt{3} + 2
Solución numérica
x1=0.267949192431123x_{1} = 0.267949192431123
x2=3.73205080756888x_{2} = 3.73205080756888
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x^2 - 1) - (2*x)*(x - 2)/(x^2 - 1)^2.
1−1+02−(−2)0⋅2(−1+02)2\frac{1}{-1 + 0^{2}} - \frac{\left(-2\right) 0 \cdot 2}{\left(-1 + 0^{2}\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
8x2(x−2)(x2−1)3−2x(x2−1)2+4−4x(x2−1)2=0\frac{8 x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{4 - 4 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=33+2+323x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}
Signos de extremos en los puntos:
                                              /3 ___    2/3\ /      3 ___      2/3\ 
     3 ___    2/3             1               \\/ 3  + 3   /*\4 + 2*\/ 3  + 2*3   / 
(2 + \/ 3  + 3  , ------------------------ - -------------------------------------)
                                          2                                  2      
                        /    3 ___    2/3\         /                       2\       
                   -1 + \2 + \/ 3  + 3   /         |     /    3 ___    2/3\ |       
                                                   \-1 + \2 + \/ 3  + 3   / /


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=33+2+323x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[33+2+323,∞)\left[\sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,33+2+323]\left(-\infty, \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(−24x3(x−2)(x2−1)2+8x2x2−1+8x(x−2)x2−1+8x(x−1)x2−1−3)(x2−1)2=0\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3+2+23+23x_{1} = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}
x2=−23+23+3+2x_{2} = - \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→−1−(2(−24x3(x−2)(x2−1)2+8x2x2−1+8x(x−2)x2−1+8x(x−1)x2−1−3)(x2−1)2)=−∞\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→−1+(2(−24x3(x−2)(x2−1)2+8x2x2−1+8x(x−2)x2−1+8x(x−1)x2−1−3)(x2−1)2)=−∞\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
lim⁡x→1−(2(−24x3(x−2)(x2−1)2+8x2x2−1+8x(x−2)x2−1+8x(x−1)x2−1−3)(x2−1)2)=∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
lim⁡x→1+(2(−24x3(x−2)(x2−1)2+8x2x2−1+8x(x−2)x2−1+8x(x−1)x2−1−3)(x2−1)2)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−23+23+3+2,3+2+23+23]\left[- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2, \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−23+23+3+2]∪[3+2+23+23,∞)\left(-\infty, - \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−2x(x−2)(x2−1)2+1x2−1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(−2x(x−2)(x2−1)2+1x2−1)=0\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x^2 - 1) - (2*x)*(x - 2)/(x^2 - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−2x(x−2)(x2−1)2+1x2−1x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(−2x(x−2)(x2−1)2+1x2−1x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−2x(x−2)(x2−1)2+1x2−1=2x(−x−2)(x2−1)2+1x2−1- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{2 x \left(- x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}
- No
−2x(x−2)(x2−1)2+1x2−1=−2x(−x−2)(x2−1)2−1x2−1- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = - \frac{2 x \left(- x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
    © Sr Examen – Калькулятор