Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • x^4-x^2+2 x^4-x^2+2
  • (x^2-5)/(x-3) (x^2-5)/(x-3)
  • (x^2-9)/(x^2-4) (x^2-9)/(x^2-4)
  • x/(1-x^3) x/(1-x^3)
  • Expresiones idénticas

  • uno /(x^ dos - uno)- dos *x*(x- dos)/(x^ dos - uno)^ dos
  • 1 dividir por (x al cuadrado menos 1) menos 2 multiplicar por x multiplicar por (x menos 2) dividir por (x al cuadrado menos 1) al cuadrado
  • uno dividir por (x en el grado dos menos uno) menos dos multiplicar por x multiplicar por (x menos dos) dividir por (x en el grado dos menos uno) en el grado dos
  • 1/(x2-1)-2*x*(x-2)/(x2-1)2
  • 1/x2-1-2*x*x-2/x2-12
  • 1/(x²-1)-2*x*(x-2)/(x²-1)²
  • 1/(x en el grado 2-1)-2*x*(x-2)/(x en el grado 2-1) en el grado 2
  • 1/(x^2-1)-2x(x-2)/(x^2-1)^2
  • 1/(x2-1)-2x(x-2)/(x2-1)2
  • 1/x2-1-2xx-2/x2-12
  • 1/x^2-1-2xx-2/x^2-1^2
  • 1 dividir por (x^2-1)-2*x*(x-2) dividir por (x^2-1)^2
  • Expresiones semejantes

  • 1/(x^2+1)-2*x*(x-2)/(x^2-1)^2
  • 1/(x^2-1)+2*x*(x-2)/(x^2-1)^2
  • 1/(x^2-1)-2*x*(x-2)/(x^2+1)^2
  • 1/(x^2-1)-2*x*(x+2)/(x^2-1)^2

Gráfico de la función y = 1/(x^2-1)-2*x*(x-2)/(x^2-1)^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
         1      2*x*(x - 2)
f(x) = ------ - -----------
        2                2 
       x  - 1    / 2    \  
                 \x  - 1/  
$$f{\left(x \right)} = - \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}$$
f = -(2*x)*(x - 2)/(x^2 - 1)^2 + 1/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.267949192431123$$
$$x_{2} = 3.73205080756888$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 1/(x^2 - 1) - (2*x)*(x - 2)/(x^2 - 1)^2.
$$\frac{1}{-1 + 0^{2}} - \frac{\left(-2\right) 0 \cdot 2}{\left(-1 + 0^{2}\right)^{2}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -1$$
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{4 - 4 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
                                              /3 ___    2/3\ /      3 ___      2/3\ 
     3 ___    2/3             1               \\/ 3  + 3   /*\4 + 2*\/ 3  + 2*3   / 
(2 + \/ 3  + 3  , ------------------------ - -------------------------------------)
                                          2                                  2      
                        /    3 ___    2/3\         /                       2\       
                   -1 + \2 + \/ 3  + 3   /         |     /    3 ___    2/3\ |       
                                                   \-1 + \2 + \/ 3  + 3   / /       


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2, \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x^2 - 1) - (2*x)*(x - 2)/(x^2 - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{2 x \left(- x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}$$
- No
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = - \frac{2 x \left(- x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar