Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
(x^3-x^2)/(4-x^2)
-
Expresiones idénticas
- uno /(x^ dos - uno)- dos *x*(x- dos)/(x^ dos - uno)^ dos
- 1 dividir por (x al cuadrado menos 1) menos 2 multiplicar por x multiplicar por (x menos 2) dividir por (x al cuadrado menos 1) al cuadrado
- uno dividir por (x en el grado dos menos uno) menos dos multiplicar por x multiplicar por (x menos dos) dividir por (x en el grado dos menos uno) en el grado dos
- 1/(x2-1)-2*x*(x-2)/(x2-1)2
- 1/x2-1-2*x*x-2/x2-12
- 1/(x²-1)-2*x*(x-2)/(x²-1)²
- 1/(x en el grado 2-1)-2*x*(x-2)/(x en el grado 2-1) en el grado 2
- 1/(x^2-1)-2x(x-2)/(x^2-1)^2
- 1/(x2-1)-2x(x-2)/(x2-1)2
- 1/x2-1-2xx-2/x2-12
- 1/x^2-1-2xx-2/x^2-1^2
- 1 dividir por (x^2-1)-2*x*(x-2) dividir por (x^2-1)^2
-
Expresiones semejantes
- 1/(x^2-1)-2*x*(x+2)/(x^2-1)^2
- 1/(x^2-1)-2*x*(x-2)/(x^2+1)^2
- 1/(x^2-1)+2*x*(x-2)/(x^2-1)^2
- 1/(x^2+1)-2*x*(x-2)/(x^2-1)^2
Gráfico de la función y = 1/(x^2-1)-2*x*(x-2)/(x^2-1)^2
Solución
Ha introducido
[src]
1 2*x*(x - 2)
f(x) = ------ - -----------
2 2
x - 1 / 2 \
\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = - \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}$$
f = -(2*x)*(x - 2)/(x^2 - 1)^2 + 1/(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.267949192431123$$
$$x_{2} = 3.73205080756888$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 2 - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3} + 2$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.267949192431123$$
$$x_{2} = 3.73205080756888$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{4 - 4 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{8 x^{2} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{3}} - \frac{2 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{4 - 4 x}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
Signos de extremos en los puntos:
/3 ___ 2/3\ / 3 ___ 2/3\
3 ___ 2/3 1 \\/ 3 + 3 /*\4 + 2*\/ 3 + 2*3 /
(2 + \/ 3 + 3 , ------------------------ - -------------------------------------)
2 2
/ 3 ___ 2/3\ / 2\
-1 + \2 + \/ 3 + 3 / | / 3 ___ 2/3\ |
\-1 + \2 + \/ 3 + 3 / / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \sqrt[3]{3} + 2 + 3^{\frac{2}{3}}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2, \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}$$
$$x_{2} = - \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(- \frac{24 x^{3} \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 2\right)}{x^{2} - 1} + \frac{8 x \left(x - 1\right)}{x^{2} - 1} - 3\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2, \sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}} + \sqrt{3} + 2\right] \cup \left[\sqrt{3} + 2 + \sqrt{2} \sqrt{3 + 2 \sqrt{3}}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1/(x^2 - 1) - (2*x)*(x - 2)/(x^2 - 1)^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{2 x \left(- x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}$$
- No
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = - \frac{2 x \left(- x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = \frac{2 x \left(- x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1}$$
- No
$$- \frac{2 x \left(x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = - \frac{2 x \left(- x - 2\right)}{\left(x^{2} - 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} - 1}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar