Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x+4)/e^(x+4)
-
x^3/3-4*x
-
x^3-6*x^2+9*x+1
-
y=x+2
-
Expresiones idénticas
- ((x+ dos)*(x- cuatro)^ dos)^(uno / tres)
- ((x más 2) multiplicar por (x menos 4) al cuadrado ) en el grado (1 dividir por 3)
- ((x más dos) multiplicar por (x menos cuatro) en el grado dos) en el grado (uno dividir por tres)
- ((x+2)*(x-4)2)(1/3)
- x+2*x-421/3
- ((x+2)*(x-4)²)^(1/3)
- ((x+2)*(x-4) en el grado 2) en el grado (1/3)
- ((x+2)(x-4)^2)^(1/3)
- ((x+2)(x-4)2)(1/3)
- x+2x-421/3
- x+2x-4^2^1/3
- ((x+2)*(x-4)^2)^(1 dividir por 3)
-
Expresiones semejantes
- ((x-2)*(x-4)^2)^(1/3)
- ((x+2)*(x+4)^2)^(1/3)
Gráfico de la función y = ((x+2)*(x-4)^2)^(1/3)
Solución
Ha introducido
[src]
__________________
3 / 2
f(x) = \/ (x + 2)*(x - 4)
$$f{\left(x \right)} = \sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)}$$
f = ((x - 4)^2*(x + 2))^(1/3)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 4$$
Solución numérica
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -2$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{x + 2} \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{3} + \frac{\left(x + 2\right) \left(2 x - 8\right)}{3}\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\sqrt[3]{x + 2} \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}} \left(\frac{\left(x - 4\right)^{2}}{3} + \frac{\left(x + 2\right) \left(2 x - 8\right)}{3}\right)}{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Signos de extremos en los puntos:
2/3 (0, 2*2 )
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = 0$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{x \left(\frac{2 \sqrt[3]{x + 2} \operatorname{sign}{\left(x - 4 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 4}\right|}} + \frac{\left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{3 \left(x + 2\right)} - \frac{x \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 2\right)^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 x \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 4\right) \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \left(x - 2\right) \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 4\right) \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 20930.0478841525$$
$$x_{2} = 40446.1733273205$$
$$x_{3} = 26024.3029224314$$
$$x_{4} = 27721.678631792$$
$$x_{5} = 20080.5758260417$$
$$x_{6} = 34509.0383942055$$
$$x_{7} = 25175.5046699387$$
$$x_{8} = 21779.3730730961$$
$$x_{9} = 41294.2433624204$$
$$x_{10} = 29418.8026953006$$
$$x_{11} = 31115.7165515951$$
$$x_{12} = 24326.6224640784$$
$$x_{13} = 19230.9372418016$$
$$x_{14} = 23477.6471222795$$
$$x_{15} = 31964.1051794607$$
$$x_{16} = 26873.0252348779$$
$$x_{17} = 32812.4530117694$$
$$x_{18} = 37053.6788385142$$
$$x_{19} = 33660.7631513868$$
$$x_{20} = 35357.2812662006$$
$$x_{21} = 38749.9717821731$$
$$x_{22} = 28570.2692968941$$
$$x_{23} = 30267.2836749993$$
$$x_{24} = 36205.4940552428$$
$$x_{25} = 39598.0832417035$$
$$x_{26} = 42142.2945633354$$
$$x_{27} = 22628.568071242$$
$$x_{28} = 37901.837506221$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[29418.8026953006, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 19230.9372418016\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{\frac{x \left(\frac{2 \sqrt[3]{x + 2} \operatorname{sign}{\left(x - 4 \right)}}{\sqrt[3]{\left|{x - 4}\right|}} + \frac{\left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}}\right)}{3 \left(x + 2\right)} - \frac{x \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x + 2\right)^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 x \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 4\right) \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 \left(x - 2\right) \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{\left(x - 4\right) \left(x + 2\right)^{\frac{2}{3}}}}{x - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 20930.0478841525$$
$$x_{2} = 40446.1733273205$$
$$x_{3} = 26024.3029224314$$
$$x_{4} = 27721.678631792$$
$$x_{5} = 20080.5758260417$$
$$x_{6} = 34509.0383942055$$
$$x_{7} = 25175.5046699387$$
$$x_{8} = 21779.3730730961$$
$$x_{9} = 41294.2433624204$$
$$x_{10} = 29418.8026953006$$
$$x_{11} = 31115.7165515951$$
$$x_{12} = 24326.6224640784$$
$$x_{13} = 19230.9372418016$$
$$x_{14} = 23477.6471222795$$
$$x_{15} = 31964.1051794607$$
$$x_{16} = 26873.0252348779$$
$$x_{17} = 32812.4530117694$$
$$x_{18} = 37053.6788385142$$
$$x_{19} = 33660.7631513868$$
$$x_{20} = 35357.2812662006$$
$$x_{21} = 38749.9717821731$$
$$x_{22} = 28570.2692968941$$
$$x_{23} = 30267.2836749993$$
$$x_{24} = 36205.4940552428$$
$$x_{25} = 39598.0832417035$$
$$x_{26} = 42142.2945633354$$
$$x_{27} = 22628.568071242$$
$$x_{28} = 37901.837506221$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[29418.8026953006, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 19230.9372418016\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = \infty \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = \infty \sqrt[3]{-1}$$
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función ((x + 2)*(x - 4)^2)^(1/3), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 2} \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 2} \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 2} \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = - \sqrt[3]{-1}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \sqrt[3]{-1} x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt[3]{x + 2} \left|{x - 4}\right|^{\frac{2}{3}}}{x}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = \sqrt[3]{2 - x} \left|{x + 4}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = - \sqrt[3]{2 - x} \left|{x + 4}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = \sqrt[3]{2 - x} \left|{x + 4}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
$$\sqrt[3]{\left(x - 4\right)^{2} \left(x + 2\right)} = - \sqrt[3]{2 - x} \left|{x + 4}\right|^{\frac{2}{3}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico