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Trazado el gráfico de la función/ /x-2/*(x+2)

Gráfico de la función y = /x-2/*(x+2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
f(x) = |x - 2|*(x + 2)
f(x)=(x+2)∣x−2∣f{\left(x \right)} = \left(x + 2\right) \left|{x - 2}\right| 
f = (x + 2)*|x - 2|
Gráfico de la función
-4.0-3.0-2.0-1.04.00.01.02.03.0-2525
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+2)∣x−2∣=0\left(x + 2\right) \left|{x - 2}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Solución numérica
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en |x - 2|*(x + 2).
2∣−2∣2 \left|{-2}\right|
Resultado:
f(0)=4f{\left(0 \right)} = 4
Punto:
(0, 4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(x+2)sign⁡(x−2)+∣x−2∣=0\left(x + 2\right) \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)} + \left|{x - 2}\right| = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=2x_{1} = 2
x2=0x_{2} = 0
Signos de extremos en los puntos:
(2, 0)

(0, 4)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=2x_{1} = 2
Puntos máximos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Decrece en los intervalos
(−∞,0]∪[2,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[2, \infty\right)
Crece en los intervalos
[0,2]\left[0, 2\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2((x+2)δ(x−2)+sign⁡(x−2))=02 \left(\left(x + 2\right) \delta\left(x - 2\right) + \operatorname{sign}{\left(x - 2 \right)}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)∣x−2∣)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + 2\right) \left|{x - 2}\right|\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+2)∣x−2∣)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 2\right) \left|{x - 2}\right|\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función |x - 2|*(x + 2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+2)∣x−2∣x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left|{x - 2}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+2)∣x−2∣x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 2\right) \left|{x - 2}\right|}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+2)∣x−2∣=(2−x)∣x+2∣\left(x + 2\right) \left|{x - 2}\right| = \left(2 - x\right) \left|{x + 2}\right|
- No
(x+2)∣x−2∣=−(2−x)∣x+2∣\left(x + 2\right) \left|{x - 2}\right| = - \left(2 - x\right) \left|{x + 2}\right|
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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