Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
(x-1)/(x+2)
-
-1-x
-
-exp(-x)+(-cos(x*sqrt(3)/2)-sin(x*sqrt(3)/2))*exp(x/2)
-
3/(x^2+1)
- Derivada de:
-
x^5-4*x^3+2*x^2-7*x
-
Expresiones idénticas
- x^ cinco - cuatro *x^ tres + dos *x^ dos - siete *x
- x en el grado 5 menos 4 multiplicar por x al cubo más 2 multiplicar por x al cuadrado menos 7 multiplicar por x
- x en el grado cinco menos cuatro multiplicar por x en el grado tres más dos multiplicar por x en el grado dos menos siete multiplicar por x
- x5-4*x3+2*x2-7*x
- x⁵-4*x³+2*x²-7*x
- x en el grado 5-4*x en el grado 3+2*x en el grado 2-7*x
- x^5-4x^3+2x^2-7x
- x5-4x3+2x2-7x
-
Expresiones semejantes
- x^5+4*x^3+2*x^2-7*x
- x^5-4*x^3-2*x^2-7*x
- x^5-4*x^3+2*x^2+7*x
Gráfico de la función y = x^5-4*x^3+2*x^2-7*x
Solución
Ha introducido
[src]
5 3 2 f(x) = x - 4*x + 2*x - 7*x
$$f{\left(x \right)} = - 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right)$$
f = -7*x + 2*x^2 + x^5 - 4*x^3
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{8}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + \frac{16}{3} + \frac{4}{\sqrt{- \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{8}{3}}}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + \frac{16}{3} + \frac{4}{\sqrt{- \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{8}{3}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{8}{3}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.44676716909492$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.14271953027466$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{8}{3}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + \frac{16}{3} + \frac{4}{\sqrt{- \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{8}{3}}}}}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + \frac{16}{3} + \frac{4}{\sqrt{- \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{8}{3}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{34}{9 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{509}{108} + \frac{\sqrt{4169}}{12}} + \frac{8}{3}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.44676716909492$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 2.14271953027466$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 x - 7 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2}\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2}, - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$5 x^{4} - 12 x^{2} + 4 x - 7 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}}}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}}}}{2} - \frac{\sqrt{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
5 3 2
____________________________________________________________________________________________________________________________________________ / ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ \ / ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ \ / ____________________________________________________________________________________________________________________________________________ \ ____________________________________________________________________________________________________________________________________________
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/ 16 / 73 \/ 18726 8 46 | / 16 / 73 \/ 18726 8 46 | | / 16 / 73 \/ 18726 8 46 | | / 16 / 73 \/ 18726 8 46 | / 16 / 73 \/ 18726 8 46
/ -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + --------------------------- | / -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + --------------------------- | | / -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + --------------------------- | | / -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + --------------------------- | 7* / -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + ---------------------------
/ 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________ ______________________________________________________________ | / 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________ ______________________________________________________________| | / 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________ ______________________________________________________________| | / 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________ ______________________________________________________________| / 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________ ______________________________________________________________
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/ / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + --------- / 8 / 73 \/ 18726 46 | / / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + --------- / 8 / 73 \/ 18726 46 | | / / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + --------- / 8 / 73 \/ 18726 46 | | / / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + --------- / 8 / 73 \/ 18726 46 | / / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + --------- / 8 / 73 \/ 18726 46
/ 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225 / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- | / 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225 / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- | | / 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225 / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- | | / 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225 / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- | / 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225 7* / - + 2*3 / - --- + --------- - ---------------------------
/ / 5 \/ 125 225 ___________________ / 5 \/ 125 225 ___________________ | / / 5 \/ 125 225 ___________________ / 5 \/ 125 225 ___________________ | | / / 5 \/ 125 225 ___________________ / 5 \/ 125 225 ___________________ | | / / 5 \/ 125 225 ___________________ / 5 \/ 125 225 ___________________ | / / 5 \/ 125 225 ___________________ / 5 \/ 125 225 ___________________
/ / / _______ / / _______ | / / / _______ / / _______ | | / / / _______ / / _______ | | / / / _______ / / _______ | / / / _______ / / _______
/ / / 73 \/ 18726 / / 73 \/ 18726 | / / / 73 \/ 18726 / / 73 \/ 18726 | | / / / 73 \/ 18726 / / 73 \/ 18726 | | / / / 73 \/ 18726 / / 73 \/ 18726 | / / / 73 \/ 18726 / / 73 \/ 18726
/ / 75*3 / - --- + --------- / 75*3 / - --- + --------- | / / 75*3 / - --- + --------- / 75*3 / - --- + --------- | | / / 75*3 / - --- + --------- / 75*3 / - --- + --------- | | / / 75*3 / - --- + --------- / 75*3 / - --- + --------- | / / 75*3 / - --- + --------- / 75*3 / - --- + ---------
\/ \/ \/ 125 225 \/ \/ 125 225 |\/ \/ \/ 125 225 \/ \/ 125 225 | |\/ \/ \/ 125 225 \/ \/ 125 225 | |\/ \/ \/ 125 225 \/ \/ 125 225 | \/ \/ \/ 125 225 \/ \/ 125 225
(----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------, |----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------| - 4*|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------| + 2*|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ------------------------------------------------------------------------| - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------)
2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / 2 2 5 3 2
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/ 16 / 73 \/ 18726 8 46 | / 16 / 73 \/ 18726 8 46 | | / 16 / 73 \/ 18726 8 46 | | / 16 / 73 \/ 18726 8 46 | / 16 / 73 \/ 18726 8 46
/ -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + --------------------------- | / -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + --------------------------- | | / -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + --------------------------- | | / -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + --------------------------- | 7* / -- - 2*3 / - --- + --------- + -------------------------------------------------------------------------- + ---------------------------
______________________________________________________________ / 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________ | ______________________________________________________________ / 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________ | | ______________________________________________________________ / 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________ | | ______________________________________________________________ / 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________ | ______________________________________________________________ / 5 \/ 125 225 ______________________________________________________________ ___________________
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/ / _______ / / / _______ / 73 \/ 18726 | / / _______ / / / _______ / 73 \/ 18726 | | / / _______ / / / _______ / 73 \/ 18726 | | / / _______ / / / _______ / 73 \/ 18726 | / / _______ / / / _______ / 73 \/ 18726
/ 8 / 73 \/ 18726 46 / / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + --------- | / 8 / 73 \/ 18726 46 / / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + --------- | | / 8 / 73 \/ 18726 46 / / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + --------- | | / 8 / 73 \/ 18726 46 / / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + --------- | / 8 / 73 \/ 18726 46 / / 8 / 73 \/ 18726 46 75*3 / - --- + ---------
/ - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- / 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225 | / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- / 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225 | | / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- / 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225 | | / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- / 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225 | 7* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- / 5* / - + 2*3 / - --- + --------- - --------------------------- \/ 125 225
/ 5 \/ 125 225 ___________________ / / 5 \/ 125 225 ___________________ | / 5 \/ 125 225 ___________________ / / 5 \/ 125 225 ___________________ | | / 5 \/ 125 225 ___________________ / / 5 \/ 125 225 ___________________ | | / 5 \/ 125 225 ___________________ / / 5 \/ 125 225 ___________________ | / 5 \/ 125 225 ___________________ / / 5 \/ 125 225 ___________________
/ / _______ / / / _______ | / / _______ / / / _______ | | / / _______ / / / _______ | | / / _______ / / / _______ | / / _______ / / / _______
/ / 73 \/ 18726 / / / 73 \/ 18726 | / / 73 \/ 18726 / / / 73 \/ 18726 | | / / 73 \/ 18726 / / / 73 \/ 18726 | | / / 73 \/ 18726 / / / 73 \/ 18726 | / / 73 \/ 18726 / / / 73 \/ 18726
/ 75*3 / - --- + --------- / / 75*3 / - --- + --------- | / 75*3 / - --- + --------- / / 75*3 / - --- + --------- | | / 75*3 / - --- + --------- / / 75*3 / - --- + --------- | | / 75*3 / - --- + --------- / / 75*3 / - --- + --------- | / 75*3 / - --- + --------- / / 75*3 / - --- + ---------
\/ \/ 125 225 \/ \/ \/ 125 225 | \/ \/ 125 225 \/ \/ \/ 125 225 | | \/ \/ 125 225 \/ \/ \/ 125 225 | | \/ \/ 125 225 \/ \/ \/ 125 225 | \/ \/ 125 225 \/ \/ \/ 125 225
(- ------------------------------------------------------------------------ - -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, |- ------------------------------------------------------------------------ - -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| - 4*|- ------------------------------------------------------------------------ - -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + 2*|- ------------------------------------------------------------------------ - -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------| + -------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------)
2 2 \ 2 2 / \ 2 2 / \ 2 2 / 2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2}\right] \cup \left[- \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2} - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2}, - \frac{\sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}{2} + \frac{\sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + \frac{16}{5} + \frac{8}{5 \sqrt{\left|{- \frac{46}{75 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}}} + 2 \sqrt[3]{- \frac{73}{125} + \frac{\sqrt{18726}}{225}} + \frac{8}{5}}\right|}}}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(5 x^{3} - 6 x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{10}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{10} - \frac{1}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3 \sqrt{5}}{10} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{10}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{5}}{10} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{10}, 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$4 \left(5 x^{3} - 6 x + 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{10}$$
$$x_{3} = - \frac{3 \sqrt{5}}{10} - \frac{1}{2}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3 \sqrt{5}}{10} - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{10}\right] \cup \left[1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3 \sqrt{5}}{10} - \frac{1}{2}\right] \cup \left[- \frac{1}{2} + \frac{3 \sqrt{5}}{10}, 1\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^5 - 4*x^3 + 2*x^2 - 7*x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right)}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right) = - x^{5} + 4 x^{3} + 2 x^{2} + 7 x$$
- No
$$- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right) = x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right) = - x^{5} + 4 x^{3} + 2 x^{2} + 7 x$$
- No
$$- 7 x + \left(2 x^{2} + \left(x^{5} - 4 x^{3}\right)\right) = x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 7 x$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar