Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x/(1+x^2)
-
x^4/(1+x)^3
-
-x^2
-
-x+1
- Derivada de:
-
x^3(x^2-1)
-
Expresiones idénticas
- x^ tres (x^ dos - uno)
- x al cubo (x al cuadrado menos 1)
- x en el grado tres (x en el grado dos menos uno)
- x3(x2-1)
- x3x2-1
- x³(x²-1)
- x en el grado 3(x en el grado 2-1)
- x^3x^2-1
-
Expresiones semejantes
- x^3(x^2+1)
Gráfico de la función y = x^3(x^2-1)
Solución
Ha introducido
[src]
3 / 2 \ f(x) = x *\x - 1/
$$f{\left(x \right)} = x^{3} \left(x^{2} - 1\right)$$
f = x^3*(x^2 - 1)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{3} \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{3} \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 1$$
Solución numérica
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{3} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x^{4} + 3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{\sqrt{15}}{5}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2 x^{4} + 3 x^{2} \left(x^{2} - 1\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)
____ ____
-\/ 15 6*\/ 15
(--------, --------)
5 125 ____ ____ \/ 15 -6*\/ 15 (------, ---------) 5 125
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{15}}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{15}}{5}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{15}}{5}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{\sqrt{15}}{5}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 x \left(10 x^{2} - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{30}}{10}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{10}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{10}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{10}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{30}}{10}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2 x \left(10 x^{2} - 3\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{30}}{10}$$
$$x_{3} = \frac{\sqrt{30}}{10}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{30}}{10}, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{30}}{10}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{30}}{10}\right] \cup \left[0, \frac{\sqrt{30}}{10}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \left(x^{2} - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{3} \left(x^{2} - 1\right)\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{3} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3*(x^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(x^{2} - 1\right)\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{3} \left(x^{2} - 1\right) = - x^{3} \left(x^{2} - 1\right)$$
- No
$$x^{3} \left(x^{2} - 1\right) = x^{3} \left(x^{2} - 1\right)$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Pues, comprobamos:
$$x^{3} \left(x^{2} - 1\right) = - x^{3} \left(x^{2} - 1\right)$$
- No
$$x^{3} \left(x^{2} - 1\right) = x^{3} \left(x^{2} - 1\right)$$
- Sí
es decir, función
es
impar
Gráfico