Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
6*x/(x^2+1)
-
(5*x^2+42*x+77)/(x^2+7*x+14)
-
8/x-1
-
5*x^2/(x^2-9)
-
Expresiones idénticas
- (cinco *x^ dos + cuarenta y dos *x+ setenta y siete)/(x^ dos + siete *x+ catorce)
- (5 multiplicar por x al cuadrado más 42 multiplicar por x más 77) dividir por (x al cuadrado más 7 multiplicar por x más 14)
- (cinco multiplicar por x en el grado dos más cuarenta y dos multiplicar por x más setenta y siete) dividir por (x en el grado dos más siete multiplicar por x más cotangente de angente de orce)
- (5*x2+42*x+77)/(x2+7*x+14)
- 5*x2+42*x+77/x2+7*x+14
- (5*x²+42*x+77)/(x²+7*x+14)
- (5*x en el grado 2+42*x+77)/(x en el grado 2+7*x+14)
- (5x^2+42x+77)/(x^2+7x+14)
- (5x2+42x+77)/(x2+7x+14)
- 5x2+42x+77/x2+7x+14
- 5x^2+42x+77/x^2+7x+14
- (5*x^2+42*x+77) dividir por (x^2+7*x+14)
-
Expresiones semejantes
- (5*x^2+42*x+77)/(x^2-7*x+14)
- (5*x^2-42*x+77)/(x^2+7*x+14)
- (5*x^2+42*x-77)/(x^2+7*x+14)
- (5*x^2+42*x+77)/(x^2+7*x-14)
Gráfico de la función y = (5*x^2+42*x+77)/(x^2+7*x+14)
Solución
Ha introducido
[src]
2
5*x + 42*x + 77
f(x) = ----------------
2
x + 7*x + 14
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14}$$
f = (5*x^2 + 42*x + 77)/(x^2 + 7*x + 14)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{21}{5} - \frac{2 \sqrt{14}}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{21}{5} + \frac{2 \sqrt{14}}{5}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.70333704529042$$
$$x_{2} = -5.69666295470958$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{21}{5} - \frac{2 \sqrt{14}}{5}$$
$$x_{2} = - \frac{21}{5} + \frac{2 \sqrt{14}}{5}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -2.70333704529042$$
$$x_{2} = -5.69666295470958$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 7\right) \left(\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77\right)}{\left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 14\right)^{2}} + \frac{10 x + 42}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} - 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1 + 2 \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{2} - 1, -1 + 2 \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1 + 2 \sqrt{2}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{\left(- 2 x - 7\right) \left(\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77\right)}{\left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 14\right)^{2}} + \frac{10 x + 42}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1 + 2 \sqrt{2}$$
$$x_{2} = - 2 \sqrt{2} - 1$$
Signos de extremos en los puntos:
2
/ ___\ ___
___ 35 + 5*\-1 + 2*\/ 2 / + 84*\/ 2
(-1 + 2*\/ 2, ---------------------------------)
2
/ ___\ ___
7 + \-1 + 2*\/ 2 / + 14*\/ 2 2
___ / ___\
___ 35 - 84*\/ 2 + 5*\-1 - 2*\/ 2 /
(-1 - 2*\/ 2, ---------------------------------)
2
/ ___\ ___
7 + \-1 - 2*\/ 2 / - 14*\/ 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - 2 \sqrt{2} - 1$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = -1 + 2 \sqrt{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- 2 \sqrt{2} - 1, -1 + 2 \sqrt{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2 \sqrt{2} - 1\right] \cup \left[-1 + 2 \sqrt{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(2 x + 7\right) \left(5 x + 21\right)}{x^{2} + 7 x + 14} + \frac{\left(\frac{\left(2 x + 7\right)^{2}}{x^{2} + 7 x + 14} - 1\right) \left(5 x^{2} + 42 x + 77\right)}{x^{2} + 7 x + 14} + 5\right)}{x^{2} + 7 x + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = - \sqrt{21}$$
$$x_{3} = \sqrt{21}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{21}, -3\right] \cup \left[\sqrt{21}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{21}\right] \cup \left[-3, \sqrt{21}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(- \frac{2 \left(2 x + 7\right) \left(5 x + 21\right)}{x^{2} + 7 x + 14} + \frac{\left(\frac{\left(2 x + 7\right)^{2}}{x^{2} + 7 x + 14} - 1\right) \left(5 x^{2} + 42 x + 77\right)}{x^{2} + 7 x + 14} + 5\right)}{x^{2} + 7 x + 14} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = - \sqrt{21}$$
$$x_{3} = \sqrt{21}$$
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \sqrt{21}, -3\right] \cup \left[\sqrt{21}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{21}\right] \cup \left[-3, \sqrt{21}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 5$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 5$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 5$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14}\right) = 5$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 5$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (5*x^2 + 42*x + 77)/(x^2 + 7*x + 14), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{x \left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 14\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{x \left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 14\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{x \left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 14\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{x \left(\left(x^{2} + 7 x\right) + 14\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14} = \frac{5 x^{2} - 42 x + 77}{x^{2} - 7 x + 14}$$
- No
$$\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14} = - \frac{5 x^{2} - 42 x + 77}{x^{2} - 7 x + 14}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14} = \frac{5 x^{2} - 42 x + 77}{x^{2} - 7 x + 14}$$
- No
$$\frac{\left(5 x^{2} + 42 x\right) + 77}{\left(x^{2} + 7 x\right) + 14} = - \frac{5 x^{2} - 42 x + 77}{x^{2} - 7 x + 14}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico