Sr Examen

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Gráfico de la función y = (2x+1/x-3+2x-1/x+3)×x^2-9/10x^2+15

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
                                           2     
       /      1             1    \  2   9*x      
f(x) = |2*x + - - 3 + 2*x - - + 3|*x  - ---- + 15
       \      x             x    /       10      
$$f{\left(x \right)} = \left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15$$
f = x^2*(2*x + 2*x + 1/x - 3 - 1/x + 3) - 9*x^2/10 + 15
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{81 \sqrt{39982}}{320} + \frac{3239271}{64000}}}{3} - \frac{27}{1600 \sqrt[3]{\frac{81 \sqrt{39982}}{320} + \frac{3239271}{64000}}} + \frac{3}{40}$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1.48212057325318$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x + 1/x - 3 + 2*x - 1/x + 3)*x^2 - 9*x^2/10 + 15.
$$\left(0^{2} \left(\left(\left(\left(-3 + \left(0 \cdot 2 + \frac{1}{0}\right)\right) + 0 \cdot 2\right) - \frac{1}{0}\right) + 3\right) - \frac{9 \cdot 0^{2}}{10}\right) + 15$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \text{NaN}$$
- no hay soluciones de la ecuación
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$3 \left(8 x - \frac{3}{5}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{3}{40}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(3 \left(8 x - \frac{3}{5}\right)\right) = - \frac{9}{5}$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(3 \left(8 x - \frac{3}{5}\right)\right) = - \frac{9}{5}$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[\frac{3}{40}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{3}{40}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1/x - 3 + 2*x - 1/x + 3)*x^2 - 9*x^2/10 + 15, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15 = - 4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{10} + 15$$
- No
$$\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15 = 4 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{10} - 15$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar