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Trazado el gráfico de la función/ (2x+1/x-3+2x-1/x+3)×x^2-9/10x^2+15

Gráfico de la función y = (2x+1/x-3+2x-1/x+3)×x^2-9/10x^2+15

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                                           2     
       /      1             1    \  2   9*x      
f(x) = |2*x + - - 3 + 2*x - - + 3|*x  - ---- + 15
       \      x             x    /       10
f(x)=(x2(((2x+((2x+1x)−3))−1x)+3)−9x210)+15f{\left(x \right)} = \left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15 
f = x^2*(2*x + 2*x + 1/x - 3 - 1/x + 3) - 9*x^2/10 + 15
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x2(((2x+((2x+1x)−3))−1x)+3)−9x210)+15=0\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−8139982320+32392716400033−2716008139982320+3239271640003+340x_{1} = - \frac{\sqrt[3]{\frac{81 \sqrt{39982}}{320} + \frac{3239271}{64000}}}{3} - \frac{27}{1600 \sqrt[3]{\frac{81 \sqrt{39982}}{320} + \frac{3239271}{64000}}} + \frac{3}{40}
Solución numérica
x1=−1.48212057325318x_{1} = -1.48212057325318
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (2*x + 1/x - 3 + 2*x - 1/x + 3)*x^2 - 9*x^2/10 + 15.
(02((((−3+(0⋅2+10))+0⋅2)−10)+3)−9⋅0210)+15\left(0^{2} \left(\left(\left(\left(-3 + \left(0 \cdot 2 + \frac{1}{0}\right)\right) + 0 \cdot 2\right) - \frac{1}{0}\right) + 3\right) - \frac{9 \cdot 0^{2}}{10}\right) + 15
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
3(8x−35)=03 \left(8 x - \frac{3}{5}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=340x_{1} = \frac{3}{40}
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(3(8x−35))=−95\lim_{x \to 0^-}\left(3 \left(8 x - \frac{3}{5}\right)\right) = - \frac{9}{5}
lim⁡x→0+(3(8x−35))=−95\lim_{x \to 0^+}\left(3 \left(8 x - \frac{3}{5}\right)\right) = - \frac{9}{5}
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[340,∞)\left[\frac{3}{40}, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,340]\left(-\infty, \frac{3}{40}\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x2(((2x+((2x+1x)−3))−1x)+3)−9x210)+15)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x2(((2x+((2x+1x)−3))−1x)+3)−9x210)+15)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x + 1/x - 3 + 2*x - 1/x + 3)*x^2 - 9*x^2/10 + 15, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x2(((2x+((2x+1x)−3))−1x)+3)−9x210)+15x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x2(((2x+((2x+1x)−3))−1x)+3)−9x210)+15x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x2(((2x+((2x+1x)−3))−1x)+3)−9x210)+15=−4x3−9x210+15\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15 = - 4 x^{3} - \frac{9 x^{2}}{10} + 15
- No
(x2(((2x+((2x+1x)−3))−1x)+3)−9x210)+15=4x3+9x210−15\left(x^{2} \left(\left(\left(2 x + \left(\left(2 x + \frac{1}{x}\right) - 3\right)\right) - \frac{1}{x}\right) + 3\right) - \frac{9 x^{2}}{10}\right) + 15 = 4 x^{3} + \frac{9 x^{2}}{10} - 15
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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