Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=2x
-
2*x^3-3*x
-
3-x^2
-
12^x
-
Expresiones idénticas
- x/((x- uno)*(x- tres))
- x dividir por ((x menos 1) multiplicar por (x menos 3))
- x dividir por ((x menos uno) multiplicar por (x menos tres))
- x/((x-1)(x-3))
- x/x-1x-3
- x dividir por ((x-1)*(x-3))
-
Expresiones semejantes
- x/((x+1)*(x-3))
- x/((x-1)*(x+3))
Gráfico de la función y = x/((x-1)*(x-3))
Solución
Ha introducido
[src]
x
f(x) = ---------------
(x - 1)*(x - 3)
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}$$
f = x/(((x - 3)*(x - 1)))
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 0$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{x \left(4 - 2 x\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
$$x_{2} = \sqrt{3}$$
Signos de extremos en los puntos:
___
___ -\/ 3
(-\/ 3, -------------------------)
/ ___\ / ___\
\-1 - \/ 3 /*\-3 - \/ 3 / ___
___ \/ 3
(\/ 3, -------------------------)
/ ___\ / ___\
\-1 + \/ 3 /*\-3 + \/ 3 / Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \sqrt{3}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \sqrt{3}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \sqrt{3}, \sqrt{3}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 1$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{2 \left(x \left(\left(x - 2\right) \left(\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 3}\right) + \frac{x - 2}{x - 1} - 1 + \frac{x - 2}{x - 3}\right) - 2 x + 4\right)}{\left(x - 3\right)^{2} \left(x - 1\right)^{2}}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 3$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 3^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{3}\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 3$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x/(((x - 1)*(x - 3))), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{x}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
$$\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = \frac{x}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = - \frac{x}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
$$\frac{x}{\left(x - 3\right) \left(x - 1\right)} = \frac{x}{\left(- x - 3\right) \left(- x - 1\right)}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico