Sr Examen

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Gráfico de la función y = log((1/2)*x)-3^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          /x\    x
f(x) = log|-| - 3 
          \2/     
$$f{\left(x \right)} = - 3^{x} + \log{\left(\frac{x}{2} \right)}$$
f = -3^x + log(x/2)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$- 3^{x} + \log{\left(\frac{x}{2} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x/2) - 3^x.
$$\log{\left(\frac{0}{2} \right)} - 3^{0}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 3^{x} \log{\left(3 \right)} + \frac{1}{x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{W\left(1\right)}{\log{\left(3 \right)}}$$
Signos de extremos en los puntos:
  W(1)      W(1)      /  W(1)  \ 
(------, - e     + log|--------|)
 log(3)               \2*log(3)/ 


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{W\left(1\right)}{\log{\left(3 \right)}}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{W\left(1\right)}{\log{\left(3 \right)}}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{W\left(1\right)}{\log{\left(3 \right)}}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (3^{x} \log{\left(3 \right)}^{2} + \frac{1}{x^{2}}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(- 3^{x} + \log{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 3^{x} + \log{\left(\frac{x}{2} \right)}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x/2) - 3^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- 3^{x} + \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- 3^{x} + \log{\left(\frac{x}{2} \right)}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$- 3^{x} + \log{\left(\frac{x}{2} \right)} = \log{\left(- \frac{x}{2} \right)} - 3^{- x}$$
- No
$$- 3^{x} + \log{\left(\frac{x}{2} \right)} = - \log{\left(- \frac{x}{2} \right)} + 3^{- x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar